Salve a tutti!Mi sono venuti dei dubbi teorici e pratici circa la definizione e la ricerca del codominio e delle immagini di una funzione.Potreste vedere se il mio ragionamento ed il mio esempio sono corretti?Grazie mille!
f(x)= e^x*√(2x+1) N.B. : (2X+1 è tutto sotto radice)
Il dominio dovrebbe essere x∈R/x>= -1/2
L'immagine dovrebbe essere f(-1/2) = 0
Ho sostituito -1/2 al posto della x presente nella nostra funzione f(x)=e^x*√(2x+1)
A questo punto il codominio dovrebbe l'insieme di tutte le immagini.Nel nostro caso l'immagine è una sola ovvero 0.Forse posso ottenere altre immagini di f se sostituisco la x presente nella funzione con valori >-1/2 tipo 1,2 etc etc?
Quindi Cod [0]. Una funzione è una relazione che associa ad ogni elemento del dominio un unico elemento del codominio.E' giusto il mio ragionamento?
(-1/2,+ infinito)---> Oppure quest'intervallo è il codominio?
Sì, il dominio è corretto: la tua funzione è definita nell'insieme $ [-\frac{1}{2}, +\infty) $. (Piccolo consiglio pratico: non usare lo slash (/) per indicare "tale che", ma usa i due punti (:). Questo perché ci si può confondere con il backslash (\), che indica "meno". Es: nel nostro caso diremmo "Il dominio è il sottoinsieme di $ R $ (o, anche, l'intervallo) che va da $ -\frac{1}{2} $ a $ +\infty $". Se ci fossimo sbagliati e avessimo usato \ invece di /, avremmo inteso "Il dominio è tutto $ R $ tranne l'intervallo compreso tra $ -\frac{1}{2} $ e $ +\infty $").
Come hai scritto tu, questo è il dominio (occhio alle parentesi però: parentesi tonda implica non inclusione dell'estremo, parentesi quadra implica inclusione, ed in questo caso $ -\frac{1}{2} $ è incluso nel dominio). Il codominio lo analizziamo tra poco.
Non è così. Una delle immagini è 0, ma le altre...? Provo a chiarire il concetto.
Quella che hai scritto come $ f(-\frac{1}{2})=0 $ è l'immagine di un singolo elemento della funzione, e quando ti viene richiesto di trovare l'immagine di una funzione ci si riferisce sempre all'immagine del dominio (o, se ti piace di più, all'insieme delle immagini degli elementi).
A questo punto il codominio dovrebbe l'insieme di tutte le immagini.
Dovrebbe essere immediato notare che codominio e immagine NON sono, IN GENERALE, la stessa cosa: l'immagine è sottoinsieme del codominio. Quindi no, il codominio non è l'insieme di tutte le immagini; piuttosto, è l'insieme da cui "peschi" tutte le immagini.
Nel caso specifico in cui l'immagine coincida con il codominio, si dice che la funzione considerata è suriettiva.
Ora, nel tuo caso hai una funzione reale di una variabile reale (ovvero il cui risultato, per ogni numero che inserisci "al posto della x", è un numero): il codominio, ovvero lo spazio in cui vivono le immagini, è tutto $ R $.
Bisogna valutare l'immagine della funzione. Per farlo in maniera relativamente semplice, il modo migliore è disegnare il grafico della funzione e sfruttare le informazioni che da esso si deducono.
Dato che a questo livello potrebbe non essere così immediato, cerchiamo un'altra strategia per risolvere il problema.
Analizziamo, dunque, la funzione: abbiamo un'esponenziale che moltiplica una radice quadrata. Sappiamo che l'esponenziale restituisce valori in $ R^+ $, ovvero nell'insieme dei numeri reali strettamente positivi (zero escluso); contestualmente, la radice quadrata restituisce valori in $ R^+ \cup 0 $. Quindi, in definitiva, unendo le due soluzioni possiamo affermare con certezza che l'immagine della funzione è l'insieme $ R^+ \cup 0 $.
Spero di aver chiarito il concetto. In sostanza, cercando di riassumere in parole povere, il codominio è l'insieme da cui "peschi" le immagini (in questo caso le immagini sono numeri, quindi l'insieme che contiene tutti i numeri è $ R $, dunque il codominio è $ R $), e l'immagine della funzione è l'insieme delle immagini dei singoli elementi del dominio.
Una funzione è una relazione che associa ad ogni elemento del dominio un unico elemento del codominio.
Esattamente. Questa definizione è analoga a "Una funzione è una relazione che associa ad ogni elemento del dominio un unico elemento dell'immagine". Questo è vero proprio per quanto affermato in precedenza: l'immagine è contenuta nel codominio, quindi dire "un'immagine" (o "un elemento dell'insieme immagine") è la stessa cosa di dire "un elemento del codominio".
Spero di esser stato chiaro, sono discorsi che spesso vengono trattati con superficialità al Liceo, e si chiariscono in corsi di Analisi all'università (in cui ti dicono poco di più di quel che ti ho raccontato ora, non spaventarti 🤣).
Se hai bisogno di chiarimenti resto a disposizione.
P.S. Quando devi risolvere esercizi del genere, è utile, le prime volte, aiutarti disegnando il grafico della funzione in questione. Ti allego una foto del grafico della tua, da cui potrai capire meglio i concetti di dominio e immagine, che sono fondamentali.
Ammesso che il nome "x" sia il simbolo di una variabile reale, la funzione * f(x) = (e^x)*√(2*x + 1) ha * dominio: l'asse x; * codominio: il piano di Argand-Gauss (z = x + i*y); cioè è del tipo * f: R → C IN QUANTO a) sia l'esponenziale che la radice quadrata sono definite ovunque; b) l'esponenziale è positiva ovunque; c) la √(2*x + 1) c1) per x = - 1/2 vale zero c2) per x > - 1/2 ha valori reali positivi c3) per x < - 1/2 ha valori immaginari positivi ------------------------------ Per la funzione * f(x) = (e^x)*√(2*x + 1) si ha che: * l'insieme di definizione coincide col dominio; * l'insieme di definizione reale è la semiretta x >= - 1/2; * l'insieme immagine è l'unione delle due semirette (x >= 0) oppure (y >= 0); E CON CIO' HANNO TERMINE I FATTI CERTI, INDIPENDENTI DALLE NOMENCLATURE. ============================== Vengo alla parte più dolorosa della risposta, quella al quesito finale «E' giusto il mio ragionamento?» PURTROPPO NO! Non solo non è giusto, ma indica anche che devi ripassare un pochino le definizioni prima di affrontare un altro esercizio.
@exprof Complimenti per la risposta, ma credo che nell'esercizio si dovesse considerare una "semplice" funzione reale di una variabile reale...le funzioni a valori nei complessi spesso non si vedono nemmeno in AM1, difficilmente @Andromeda09 doveva risolvere un esercizio su tale argomento. Ovviamente se mi sto sbagliando chiedo scusa per la risposta e per il presente commento.😉
@exprof mi trovo allineato con @Gabriele22. Per quanto la tua risposta sia esaustiva e giusta, è molto probabile che più che aiutare @Andromeda09 lo confonda con argomenti che non conosce e con nozioni superiori di cui non ha idea (neanche che esistano). Un esempio è la radice quadrata definita per ogni x. Sono praticamente certo che qualunque studente ti cerca di trovare gli x per i quali l'argomento della radice quadrata è >=0, non ti dice che "vale per ogni x, in quanto suppongo che la funzione sia definita da R in C".
@Gabriele22 @Sebastiano Vedo solo ora (giovedì 2 luglio 2020, 11h 24') i vostri commenti di ieri pomeriggio che sono pragmaticamente corretti e dei quali vi ringrazio, ma che trovo assolutamente scoraggianti perché assecondano (e quindi incoraggiano) la rassegnazione degl'insegnanti a non badare al rigore espressivo. Io ho insegnato Matematica (in un Liceo Scientifico) nel solo a.s. 1967/68; materie tecniche di vario genere (Statica Grafica, Tecnica dell'Autotrazione, Tecnica Telegrafica e Telefonica, Statistica e Ricerca Operativa, ...) in Istituti di vario genere fra il 1964 e il 1971; poi, dall'a.s. 1971/72 all'a.s. 2005/06, solo materie di Informatica (che inizialmente nemmeno si chiamava così) negli ITIS. Mi sembra ovvio che il modo in cui imposto e sviluppo le risposte rifletta istintivamente, più che la mia remota formazione di ingegnere, il mio lungo passato di insegnante nel quale ho sempre avuto presente una cosa scritta nelle Avvertenze (non firmate, quindi a nome dell'intero MPI) premesse ai programmi degli ITIS del 1961: che, mentre ogni insegnante deve valutare gli alunni nelle proprie materie, è obbligo di tutti gli insegnanti valutare (nel proprio voto) la padronanza e l'uso corretto dell'Italiano e correggerne gli usi improprii. A ciò si aggiunge una delle raccomandazioni che ho fatto in ogni nuova classe che ho avuto e cioè di non suggerire nulla al "cliente" (insegnante, collega o esterno) che pone un'esigenza di calcolo o di elaborazione dati ma di registrare le sue esatte parole e su di esse sole stendere la prima proposta di problem setting; se al cliente non va bene penserà lui a precisare le precedenti imprecisioni. E' perciò che il mio subconscio non è stato nemmeno sfiorato dall'idea «che nell'esercizio si dovesse considerare una "semplice" funzione reale di una variabile reale» perché in quello che ho letto questa riserva non c'era e io ho il riflesso automatico di considerare mancanza di rispetto attribuire ad altri le associazioni mentali mie. Poi è banale che abbiate ragione voi, ma temo che dovrete rivolgermi lo stesso rimprovero anche in futuro. Non posso farci nulla: rispondo a ciò che vedo scritto nel testo della domanda e sono troppo vecchio e malandato per illudermi di potermi riprogrammare. Grazie ancora e scusate il non richiesto flusso di coscienza, m'è scappato.
@exprof Buongiorno, nel risponderti mi permetto di darti del tu, spero non ti dispiaccia.
Nessuno qui stava sindacando sulla bontà della risposta, e mi pare che sia io che @Sebastiano abbiamo sottolineato questo aspetto come premessa alle nostre considerazioni.
Fatta questa precisazione, ci tengo anch'io ad esprimere il mio personale punto di vista.
Io non ho la più pallida idea di chi sia @Andromeda09 , di che scuola frequenti e quale sia la sua preparazione, ma di certo la domanda evidenzia delle carenze su determinati aspetti della trattazione del programma di AM1 (o, se frequenta un liceo, è ancor più normale che si abbiano dubbi su questi aspetti, che sono di fatto il primo impatto con "oggetti matematici" più astratti di quelli a cui si era abituati fino a quel momento).
Per tale ragione mi sembra alquanto fuorviante fornire precisazioni e formalizzazioni su argomenti che l*i potrebbe non aver trattato. E, fin qui, credo di aver fatto presente una situazione oggettiva.
Vengo ora al mio commento: non sempre è "cosa buona e giusta" fornire spiegazioni non richieste, approfondimenti e formalismi "in più", perché si rischia di confondere le idee a chi apprende. Negli anni mi sono reso conto che molti professori di matematica prediligono questa modalità d'insegnamento, che sicuramente ha molti lati positivi, ma resta il fatto che se l'obiettivo è portare il ragazzo a capire quei concetti, non si può partire in quarta con approfondimenti di tutt'altro livello. Poi, se @Andromeda09 sta studiando matematica all'università, allora il discorso cambia e potrei essere d'accordo con te quasi su tutto, ma il nocciolo della questione è quello che ti ho fatto presente: non vanno persi di vista gli obiettivi educativo-formativi primari. E con questo non intendo né screditare il lavoro degli insegnanti, né invitare alla "rassegnazione a non badare al rigore espressivo"; semplicemente, a mio avviso, vanno date le giuste priorità. Poi qui si potrebbe aprire un capitolo immenso, e non credo sia questo il luogo per affrontare questi discorsi, ma ciò che è fondamentale è che prima si "fa il necessario", e solo successivamente, sotto opportune condizioni, si amplia il programma o la trattazione come meglio si crede. E, ribadisco, questo non sminuisce il lavoro degli insegnanti, in quanto "fare il necessario" è diverso da "rassegnarsi ed evitare il formalismo". Anche nella mia spiegazione, infatti, pur avendo trattato l'argomento ad un livello inferiore al tuo, ho cercato di conciliare l'aspetto formale con quello pratico come meglio ho potuto.
Probabilmente ho peccato di superficialità io nel non indagare sul livello di @Andromeda09 , e la prossima volta che avrò dei dubbi mi assicurerò di chiedere a chi pone il quesito a che livello sta studiando quell'argomento, in modo da fornire una risposta mirata. E anzi, ti dirò di più: sarebbe il caso che tutti coloro che chiedono specifichino fin da subito il livello a cui si trovano. Poi chi, come te, vuole approfondire ed ampliare il discorso, ovviamente può farlo, ma forse sarebbe il caso di specificarlo in apertura. Perché, e concludo, se l*i fosse un* alunn* di terzo liceo, già solo sentire "Argand-Gauß" potrebbe scoraggiare la lettura e lo studio molto più di quanto non venga scoraggiato il professore che "si limita" (se vuoi vederla così) a "fare il compitino".
Ti ringrazio nuovamente per avermi fatto venire il dubbio, e dalla prossima volta avrò una maggior cura nello scegliere il livello su cui impostare la risposta.
Augurandoti una buona giornata (e buon pranzo 😀), ti saluto.
