[Risolto] Dominio funzione

Se x è il nome di una variabile reale allora la funzione
* f(x) = y = x^3/(x^2 - 2*x + 1) = x^3/(x - 1)^2
ha
* dominio: l'intero asse reale R ≡ x
* insieme di definizione: R\{1}
* insieme di definizione reale: R\{1}
* codominio e insieme immagine: l'intero asse reale R ≡ y
* le due prime derivate
** f'(x) = (x - 3)*x^2/(x - 1)^3
** f''(x) = 6*x/(x - 1)^4
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L'andamento del grafico di
* y = x^3/(x - 1)^2
si ricava dalle seguenti considerazioni.
1) (f(0) = 0) & (f'(0) = 0) & (f''(0) = 0) ≡
≡ nell'origine c'è l'unico zero e l'unico flesso, che è a tangente orizzontale
2) (f(3) = 27/4) & (f'(3) = 0) & (f''(3) = 9/8 > 0) ≡
≡ in (3, 27/4) c'è l'unico estremo, che è un minimo relativo
3a) lim_(x → - ∞) f(x) = - ∞
3b) lim_(x → + ∞) f(x) = + ∞
3c) lim_(x → 1) f(x) = + ∞
4) f(1) è indefinita ≡ in x = 1 c'è l'unico asintoto verticale
5) (lim_(x → ∞) f(x)/x = m) & (lim_(x → ∞) |f(x) - m*x| = q) ≡
≡ (lim_(x → ∞) x^1/(x - 1)^2 = 1 = m) & (lim_(x → ∞) |2 + (3*x - 2)/(x - 1)^2| = 2 = q) ≡
≡ y = m*x + q ≡ y = x + 2 è l'unico asintoto obliquo

La funzione é razionale fratta

D =/= 0

x^2 - 2x + 1 =/= 0

(x - 1)^2 =/= 0

x - 1 =/= 0

x =/= 1

Così Dom_f = ]-oo, 1[ U ]1, +oo[