[Risolto] Asintoti obliqui

$lim_{x \to \pm \infty} \;\;  f(x) = \pm \infty$

Possono esserci quindi asintoti obliqui.

$m = lim_{x \to \pm \infty} \dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{x^3}{x^3 -2x^2+x} =1$

Asintoto obliquo destro coincide con quello sinistro, si ha un unico asintoto obliquo.

$q =lim_{x \to + \infty} \;\; f(x) -mx$

$lim_{x \to + \infty} \dfrac{x^3 -x^3+2x^2 -1}{x^2 -2x+1}= \dfrac{+2x^2 -1}{x^2 -2x+1} =2$

Asintoto  obliquo : $y =x +2$

Per funzioni di questo tipo veniva comodo sviluppare il rapporto della funzione di partenza e verificare l'andamento asintotico.

y= x+2 è l'asintoto obliquo

La funzione equivale a:

y = x^3/(x^2 - 2·x + 1) = (3·x - 2)/(x - 1)^2 + x + 2

Se x è il nome di una variabile reale allora la funzione
* f(x) = y = x^3/(x^2 - 2*x + 1) = x^3/(x - 1)^2
ha
* dominio: l'intero asse reale R ≡ x
* insieme di definizione: R\{1}
* insieme di definizione reale: R\{1}
* codominio e insieme immagine: l'intero asse reale R ≡ y
* le due prime derivate
** f'(x) = (x - 3)*x^2/(x - 1)^3
** f''(x) = 6*x/(x - 1)^4
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L'andamento del grafico di
* y = x^3/(x - 1)^2
si ricava dalle seguenti considerazioni.
1) (f(0) = 0) & (f'(0) = 0) & (f''(0) = 0) ≡
≡ nell'origine c'è l'unico zero e l'unico flesso, che è a tangente orizzontale
2) (f(3) = 27/4) & (f'(3) = 0) & (f''(3) = 9/8 > 0) ≡
≡ in (3, 27/4) c'è l'unico estremo, che è un minimo relativo
3a) lim_(x → - ∞) f(x) = - ∞
3b) lim_(x → + ∞) f(x) = + ∞
3c) lim_(x → 1) f(x) = + ∞
4) f(1) è indefinita ≡ in x = 1 c'è l'unico asintoto verticale
5) (lim_(x → ∞) f(x)/x = m) & (lim_(x → ∞) |f(x) - m*x| = q) ≡
≡ (lim_(x → ∞) x^1/(x - 1)^2 = 1 = m) & (lim_(x → ∞) |2 + (3*x - 2)/(x - 1)^2| = 2 = q) ≡
≡ y = m*x + q ≡ y = x + 2 è l'unico asintoto obliquo