dominio e segno di funzione radicale

@salvonardyn 

 

Primo esercizio:

Radice (4x²) = 2*|x|

 

Insieme di definizione: x≠0

 

La funzione è positiva per x > 0

Sappiamo che:

 

             {1 se x>0

|x|/x = 

             { - 1 se x<0

 

Quindi per x>0 la funzione è :

f(x) = x/2 + 1

 

Per x<0 la funzione è:

f(x) = x/2 - 1

 

Determino la retta di equazione x=K, k>0 che forma con la funzione e gli assi un trapezio di area 24.

 

Il generico punto P€ y=x/2 + 1 ha coordinate: 

P=(k, k/2 + 1)

 

Il trapezio ha quindi:

b=1

B= yP = (k/2) + 1

Altezza = xP = k

 

Imponendo la condizione richiesta, si ricava:

[(k/2)+2]*k/2 = 24

 

Essendo k>0 ricaviamo il valore accettabile:

(k+12)(k-8)=0

k=8

 

Il problema è simmetrico per x < 0

 

Es2) 

 

Insieme di definizione in R

 

{x+3 >=0 (argomento della radice quadrata)

{x≠0 (argomento radice cubica a denominatore)

 

Quindi: x>= - 3, x≠0

 

Segno della funzione. 

La radice quadrata nel suo insieme di definizione è sempre positiva o nulla. 

Studiamo quindi il segno dei restanti fattori:

{1-x >=0

{x>0

 

Da cui si ricava che la funzione è:

f(x) >=0 se 0 < x < = 1

 

 

Secondo la nomenclatura standard l'insieme dominio di una funzione è il prodotto cartesiano degl'insiemi su cui assumono valore i suoi argomenti e l'insieme codominio è il più comprensivo fra gl'insiemi nei quali essa può assumere valore.
---------------
Pertanto le funzioni della sola variabile x
5) f(x) = y = (1 - x)*√(x + 3)/x^(1/3)
8) f(x) = y = (√(4*x^2) + x^2)/(2*x)
se x è reale hanno
* dominio: entrambe l'intero asse reale x (R)
* codominio
** 5: l'intero piano complesso di Argand-Gauss (C: √(x + 3) può avere valore immaginario)
** 8: l'intero asse reale y (R: per x reale, √(4*x^2) = √((2*x)^2) = |2*x| = 2*|x|)
* insieme di definizione: entrambe R\{0} (x = 0 annullerebbe i denominatori)
* insieme di definizione reale
** 5: x >= - 3
** 8: x != 0
------------------------------
Il segno dipende dagl'intervalli in cui l'insieme di definizione reale (i valori complessi non hanno segno) è partizionato dagli zeri e dalle frontiere.
Da ciascuna parte di ciascun asintoto basta una valutazione: intervalli adiacenti a uno zero hanno segno discorde.
---------------
5) f(x) = y = (1 - x)*√(x + 3)/x^(1/3)
* x < - 3: y ha valore immaginario
* x = - 3: y = 0
* - 3 < x < 0: y < 0
* x = 0: y è indefinita
* 0 < x < 1: y > 0
* x = 1: y = 0
* x > 1: y < 0
Vedi l'andamento al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=y%3D%281-x%29*%E2%88%9A%28x%2B3%29%2Fx%5E%281%2F3%29&assumption=%22%5E%22+-%3E+%22Real%22
---------------
8) f(x) = y = (√(4*x^2) + x^2)/(2*x) ≡
≡ y = x^2/(2*x) + 2*|x|/(2*x) ≡
≡ y = x/2 + |x|/x ≡
≡ y = x/2 + sgn(x)
--------
Nota: la funzione segno è definita per distinzione di casi.
* (x < 0) & (sgn(x) = - 1) oppure (x = 0) & (sgn(x) = 0) oppure (x > 0) & (sgn(x) = 1)
oppure con l'aritmetica dei valori di verità
* sgn(x) = (x > 0) - (x < 0)
In questo caso, essendo escluso x = 0, è lecito porre |x|/x = sgn(x)
--------
Quindi
8) f(x) = y = (√(4*x^2) + x^2)/(2*x) ≡
≡ y = x/2 + sgn(x) ≡
≡ (x < 0) & (y = x/2 - 1 < 0) oppure (x > 0) & (y = x/2 + 1 > 0)
Vedi l'andamento al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=y%3D%28%E2%88%9A%284*x%5E2%29%2Bx%5E2%29%2F%282*x%29
------------------------------
Il quesito 8c è mal formulato perché è impossibile formare "UN trapezio di area 24" con le due parallele del risultato atteso x = ± 8, le due perpendicolari x*y = 0 e le due parallele y = x/2 ± 1.
Non mi azzardo a commettere la duplice scorrettezza di usare il risultato atteso come dato e di introdurre ipotesi semplifictrici in base a quel dato.