Dominio e derivata

Ti do il grafico:

La parte in azzurro indica il campo di valori dato dal testo: 

- pi/2 ≤ x ≤ 3/2·pi

Non è definita in tale campo in x = pi/4 ed x= 5/4*pi

$ y = \frac{sinx cosx}{sinx - cosx}$

Determiniamo il dominio della funzione cercando in quali punti il denominatore si annulla. In tali punti infatti la funzione non è definita.

Studiamo quindi l'equazione:

$sinx - cosx = 0$

Per risolverla mettiamo in evidenza il coseno:

$cosx ( \frac{sinx}{cosx} - 1) = 0$

 

Nota che la soluzione

$cosx = 0$ da cui $x=\pi/2 +k\pi$ non è accettabile in quanto sostituendo la soluzione nell'equazione di partenza otteniamo:

$sin(\pi/2)-cos(\pi/2) = 1-0= 1 \neq 0$

Rimane dunque da risolvere solo la parte in partentesi. Ricordando che $tanx = sinx/cosx$ otteniamo:

$tanx -1 = 0$

da cui

$tan x = 1 \rightarrow x=\pi/4 +k\pi$.

Dato che la funzione è definita solo nell'intervallo [$-\pi/2, 3/2 \pi$] possiamo restringere l'insieme delle soluzioni a:

$x=\pi/4 \and x=5/4 \pi$

Quindi il dominio della nostra funzione è

$D: x \neq \pi/4 \and x=5/4 \pi$

 

Calcoliamo ora la derivata prima per determinare gli estremi della funzione:

$y' = \frac{D(sinxcosx)(sinx-cosx)-(sinxcosx)D(sinx-cosx)}{(sinx-cosx)^2}$

$y'=\frac{(cos^2 x-sin^2 x)(sinx - cosx)-(sinxcosx)(cosx+sinx)}{(sinx-cosx)^2}$

$y'=\frac{sinx cos^2x - sin^3x -cos^3x +sin^2x cosx-sinxcos^2x -sin^2xcosx}{(sinx - cosx)^2}$

$y'=\frac{-sin^3x-cos^3x}{(sinx-cosx)^2}$

 

Studiamo il segno della derivata. Possiamo considerare il solo numeratore, dato che il denominatore è sempre positivo, essendo al quadrato:

$-sin^3-cos^3x \geq 0$

Cioé

$-(sin^3x+cos^3x) \geq 0$

Scomponiamo come somma di cubi:

$-(sinx+cosx)(sin^2x+cos^2x-sinxcosx) \geq 0$

Ricordando che, scomponendo una somma di cubi il trinomio che si ottiene è sempre positivo, possiamo studiare solamente:

$-(sinx + cosx) \geq 0$

Come prima mettiamo in evidenza il coseno:

$-cosx(tanx+1) \geq 0$

 

Studiamo il segno del prodotto:

$-cosx \geq 0$ -> $cosx \leq 0$ -> $\pi/2 \leq x \leq 3/2 \pi$

e

$tanx \geq -1$ -> $ -pi/4 \leq x < pi/2 e 3/4\pi \leq x < 3/2 \pi$

Dallo studio dei segni otteniamo che la derivata è:

- Positiva da $-\pi/2$ a $-\pi/4$

- Negativa da $-\pi/4 $ a $3/4 \pi$

- Positiva da $3/4 \pi$ a $3/2 \pi$

 

Quindi abbiamo un massimo per $x=-\pi/4$ e un minimo per $x=3/4 \pi$

 

Noemi