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[Risolto] Dominio dell'inversa di una funzione goniometrica

  

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Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo esercizio? (il 573).

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 Se potete, mi aiutereste a risolvere anche il 275? Ve ne sarei grato.

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la funzione $arcsin$ ha come dominio $[-1,1]$, ovvero quello che sta dentro la funzione può assumere valori solo nell'intervallo $[-1,1]$. Pertanto:

$-1 \leq \frac{2}{x+2} \leq 1$

inoltre chiaramente $\frac{2}{x+2}$ non è definita per $x=-2$

dobbiamo quindi risolvere due disequazioni. Partiamo con la prima:

$-1 \leq \frac{2}{x+2}$ che chiaramente si può anche scrivere

$\frac{2}{x+2} \geq -1$ --> $\frac{2}{x+2} +1 \geq 0$ --> $\frac{x+4}{x+2} \geq 0$  

Studiando separatamente il numeratore e denominatore e poi mettendo insieme i risultati si ha che la disequazione è verificata per $x \leq -4$ U $x>-2$

La seconda disequazione è 

$\frac{2}{x+2} \leq 1$ che diventa $-\frac{x}{x+2} \leq 0$ --> $\frac{x}{x+2} \geq 0$

che ha come risultato che la disequazione è verificata da $x < -2$ U $x \geq 0$

dovendo valere contemporaneamente entrambe, il risultato complessivo è

$x \leq -4$ U $x \geq 0$

il 575 (faccio uno strappo alla regola) è facilissimo: basta imporre che il denominatore $x-2$ sia diverso da 0.

@sebastiano dovresti correggere un segno: è $x\leq -4$

@Dany_71 Grazie!! ho lasciato un \geq al posto di un \leq 😉 .

@sebastiano Grazie

 



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