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[Risolto] Domanda di fisica moto rotalamento

  

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Un disco e un anello con la stessa massa e lo stesso raggio vengono rilasciati nello stesso istante dalla sommità di una rampa. Il disco raggiunge la base della rampa prima dell’anello,dopo l’anello o nello stesso istante dell’anello?

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Alla partenza hanno entrambi la stessa energia potenziale data da $mgh$

la corservazione dell'energia meccanica ci dice anche che:

$mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2$

dove $I$ è il momento di inerzia del corpo, $\omega=v/r$ e $r$ è il raggio.

Avendo i due corpi momenti di inerzia diversi, la velocità $v$ sarà diversa. 

in particolare per il disco otterrai:

$I_{disco}=\frac{1}{2}mr^2$

$v_{disco}=\sqrt{\frac{4}{3}gh}$ 

mentre per l'anello (se non ho sbagliato i conti):

$I_{anello}=mr^2$

$v_{anello}=\sqrt{gh}$

Pertanto la velocità del disco sarà maggiore e arriverá prima il disco.

@giulia mi spieghi come mai mi hai votato negativamente?

@sebastiano buonasera, mi permetta una domanda, come mai per trovare la velocità dell'anello devo fare √gh...? Ho lo stesso problema ma numerico ed effettivamente così viene il risultato corretto, ma non riesco a capirne il motivo...

@sebastiano  non capisco come ha fatto a trovare le velocià

 

@giada.ross  @maria.sole

nella formula

$mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2$

ho sostituito a $\omega$ il valore $v/r$, e poi ho ricavato $v$

Chiaramente nei due casi ho anche sostituito al posto di $I$ le due formule differenti



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energia potenziale U = m*g*h

energie cinetiche e velocità finali :

 

# sfera solida:

MdI J sfera  = 2/5mr^2

m/2V^2 + J/2*V^2/r^2

m/2V^2+1/5mV^2 = 0,7 mV^2

m*g*h = 0,7 mV^2

V = √g*h/0,7 = 1,195√g*h

 

# disco (cilindro):

MdI J' disco = 1/2mr^2

m/2V'^2 + J'/2*V'^2/r^2

m/2V'^2+1/4mV'^2 = 0,75 mV'^2

m*g*h = 0,75 mV'^2

V' = √g*h/0,75 = 1,155√g*h

 

# anello (cilindro cavo):

MdI J'' anello = mr^2

m/2V''^2 + J''/2*V''^2/r^2

m/2V''^2+m/2V''^2 = m*V''^2

m*g*h = mV''^2

V'' = √g*h 

 

# sfera cava:

MdI J''' sfera  = 2/3mr^2

m/2V'''^2 + J'''/2*V^2/r^2

m/2V'''^2+1/3mV'''^2 = 5/6 mV'''^2

m*g*h = 5/6 mV'''^2

V''' = √g*h*6/5 = 1,095√g*h

 

La singolarità, niente affatto intuitiva, è che oggetti della stessa natura (cilindri entrambi pieni o cavi, sfere entrambe piene o cave) rotolano giù con la stessa velocità finale  indipendentemente dalle dimensioni e dalla massa come da allegato video di W. Lewin 

 

hollow body will always lose !!!



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SOS Matematica

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