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[Risolto] Divisone fra polinomi

  

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  1. (15a3-8a2-9a+2):(3a+2)
  2. (7a-a3+2+a2):(a2+2)
  3. (8x3-4x+1):(x-1/2)
  4. (x3+2x-1):(x2-4)
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@federica04 puoi postare un solo esercizio per volta. Inoltre e’ fortemente gradito un tuo tentativo di soluzione così ci possiamo rendere conto delle tue difficoltà e spiegarti cosa non capisci...

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2 Risposte



1

Per preparare le espressioni all'algoritmo della divisione polinomiale che trovi esposto al link
http://it.wikipedia.org/wiki/Divisione_dei_polinomi
è utile qualche operazione preliminare.
La prima cosa da fare è riscrivere le espressioni con una sintassi che poi consenta di verificare i risultati con un qualche software di calcolo simbolico.
Per queste quattro espressioni basta usare operatori espliciti appropriati.
* "* asterisco" operatore di moltiplicazione
* "^ caret" operatore di esponenziazione
* "/" operatore di divisione
1) (15*a^3 - 8*a^2 - 9*a + 2)/(3*a + 2)
2) (7*a - a^3 + 2 + a^2)/(a^2 + 2)
3) (8*x^3 - 4*x + 1)/(x - 1/2)
4) (x^3 + 2*x - 1)/(x^2 - 4)
------------------------------
La seconda cosa da fare (indispensabile) è di riscrivere il dividendo completo: con le potenze in ordine decrescente e con esplicitamente scritte anche quelle con coefficiente zero.
2) (- a^3 + a^2 + 7*a + 2)/(a^2 + 2)
3) (8*x^3 + 0*x^2 - 4*x + 1)/(x - 1/2)
4) (x^3 + 0*x^2 + 2*x - 1)/(x^2 - 4)
------------------------------
La terza cosa da fare (non indispensabile, ma utile) è di rendere monico il divisore dividendo per il suo coefficiente direttore sia il dividendo che il divisore.
1) (15*a^3 - 8*a^2 - 9*a + 2)/(3*a + 2) =
= (15*a^3/3 - 8*a^2/3 - 9*a/3 + 2/3)/(a + 2/3) =
= (5*a^3 - (8/3)*a^2 - 3*a + 2/3)/(a + 2/3)
==============================
Dopo di ciò il tuo testo ha assunto la forma N(x)/D(x) equivalente, con N(x) completo e D(x) monico
1) (5*a^3 - (8/3)*a^2 - 3*a + 2/3)/(a + 2/3)
2) (- a^3 + a^2 + 7*a + 2)/(a^2 + 2)
3) (8*x^3 + 0*x^2 - 4*x + 1)/(x - 1/2)
4) (x^3 + 0*x^2 + 2*x - 1)/(x^2 - 4)
a cui applicare l'algoritmo per produrre due altri polinomi (Q(x), R(x)) tali che
* (N = Q*D + R) & (0 <= grado[R] < grado[D])
---------------
NOTA 1
Poiché
* N = Q*D + R ≡ N - R = Q*D ≡ Q = (N - R)/D
ciò vuol dire che, conoscendo il resto, il quoziente è il quoto della divisione esatta che ha lo stesso divisore e per dividendo la differenza fra quello originale e il resto precalcolato.
---------------
NOTA 2
Se grado[D] = 1 e D è monico, come per le espressioni (1, 3), si ha grado[R] = 0 ed R = N(k) con k opposto del termine noto di D; cioè il resto è una costante il cui valore è quello del dividendo valutato per la variabile pari a k.
La Regola di Ruffini esegue le due operazioni insieme e col minimo numero di operazioni aritmetiche.
---------------
NOTA 3
Per minimizzare il numero di operazioni necessarie ad una valutazione è utile riscrivere il polinomio applicando ripetutamente la forma
* "(altroPolinomio)*variabile + termineNoto".
---------------
ESEMPIO 1: espressione 1.
1) N(a)/D(a) = (5*a^3 - (8/3)*a^2 - 3*a + 2/3)/(a + 2/3) =
= (((5*a - 8/3)*a - 3)*a + 2/3)/(a + 2/3)
* k = - 2/3
* N(a) = ((5*a - 8/3)*a - 3)*a + 2/3
* N(- 2/3) = ((5*(- 2/3) - 8/3)*(- 2/3) - 3)*(- 2/3) + 2/3 = 0
---------------
ESEMPIO 2: espressione 3.
3) N(x)/D(x) = (8*x^3 + 0*x^2 - 4*x + 1)/(x - 1/2) =
= ((8*x*x - 4)*x + 1)/(x - 1/2)
* k = 1/2
* N(x) = (8*x*x - 4)*x + 1
* N(1/2) = (8*(1/2)*(1/2) - 4)*(1/2) + 1 = 0
==============================
Se può esserti utile ti scrivo qui di seguito una versione concisa dell'algoritmo.
------------------------------
Divisione fra polinomi
Il quoziente Q(x) si costruisce un monomio alla volta, iniziando da quello di grado massimo q(k)*x^k ottenuto dal rapporto n(n)*x^n/(d(m)*x^m)
[per motivi dattilografici, l'indice dei coefficienti n, d, q degli omonimi polinomi è indicato fra ()].
---------------
Si costruisce R1(x) = N(x) - D(x) * q(k)*x^k che, per com'è ottenuto q(k)*x^k, manca del termine in x^n ed è di grado n1 < n.
---------------
a) Se n1 < m, allora la divisione è terminata: R1(x) è il resto e q(k)*x^k il quoziente
N(x) = D(x) * q(k)*x^k + R(x).
---------------
b) Se invece n1 >= m, allora la divisione prosegue con la costruzione di un secondo monomio di grado k1 < k e di un secondo resto parziale
R2(x) = N(x) - D(x) * (q(k)*x^k + q(k1)*x^k1) di grado n2 < n1.
---------------
c) Incrementando l'indice del resto parziale (sostituendo R2(x) ad R1(x), per la prima volta), si reiterano controlli ed azioni a, b, c, fino a terminare nel passo a.



2

per il regolamento del sito, puoi chiedere sol un esercizio alla volta; quindi ti faccio solo il primo sperando di aiutarti indirettamente anche per gli altri.

(15a^3-8a^2-9a+2):(3a+2)

per prima cosa devi dividere il primo termine del dividendo (cioè 15a^3) per il primo termine del divisore (cioè 3a). ottieni quindi 15a^3/3a = 5a^2

ora moltiplichi il risultato ottenuto per il divisore, ottieni quindi: 5a^2 * (3a+2)= 15a^3 +10a^2

ora sottrai il dividendo per questo risultato:

15a^3-8a^2-9a+2 - (15a^3 +10a^2) = -18a^2 - 9a +2

a questo punto ripeti da capo tutti i passaggi, solo che stavolta il dividendo è -18a^2 - 9a +2

quindi si ricomnicia: -18a^2/3a = -6a

-6a*(3a+2)= -18a^2 -12a

-18a^2 - 9a +2 - (-18a^2 -12a) = 3a+2 

un ultima volta:

3a/3a = 1

1*(3a+2)=3a+2

3a+2 - (3a+2) = 0 -----> divisione con resto zero 

 

il risultato della divisione è la somma dei risultati rossi: 5a^2 - 6a + 1



Risposta




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