[Risolto] Divisibilità di polinomi

Svolgo solo il primo e ti fornisco un'indicazione sull'ultimo 

 

Esegui la divisione polinomiale secondo la regola generale,

non essendoci altra scelta 

 

x^4 + 3x^3 + 4x^2 + ax + b   |    x^2 - 1

-x^4             + x^2                       x^2 + 3x + 5

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        3x^3 + 5x^2 + ax + b 

       -3x^3             + 3x

___________________________

                     5x^2 + (a + 3) x + b

                    -5 x^2                  + 5

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                                (a + 3) x + b + 5

 

Perché il resto sia 0, per il principio di identità dei polinomi, 

deve risultare 

 

a + 3 = 0 => a = -3 e   b + 5 = 0 => b = - 5

 

 

Nell'ultimo puoi invece usare la regola di Ruffini con x = 2a - 1.

Vedo che non hai capito e non hai letto le risposte al tuo precedente post. Per ogni post, da regolamento, puoi mettere un solo esercizio!

Come t'ha giustamente rammentato @Sebastiano (click in su) non dovresti scrivere una nuova domanda PRIMA D'AVERE LETTO E BEN COMPRESO TUTTE LE RISPOSTE ALLA PRECEDENTE (non porre più quesiti in una stessa domanda te l'avevano già segnalato in un paio di risposte); nella mia risposta t'avevo anche mostrato che si poteva fare un'eccezione e presentare più quesiti omogenei come istanze dello stesso problema PRESENTATO COME SOVRAINSIEME di essi, ma PRESENTATO e non lasciato sottinteso!
In questa domanda i quesiti due e quattro sono omogenei (e fessacchiotti: moltiplichi il divisore assegnato per il generico polinomio della forma che deve avere il quoziente, sviluppi, riduci, applichi il principio d'identità polinomiale. Ancora meglio: risolvi il sistema dell'annullamento di tutti i resti calcolabili.) mentre il quesito tre lo è solo in parte.
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QUESITO TRE
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A) n generico
Divisore assegnato: d(x, y) = (x + y)*(x + 1)*(y + 1)
Dividendo: p(x, y) = (x + y + 1)^n - (x^n + y^n + 1^n)
Resti calcolabili:
* p(x, - x) = (x + (- x) + 1)^n - (x^n + (- x)^n + 1^n) = - (x^n + (- x)^n)
* p(x, - 1) = (x + (- 1) + 1)^n - (x^n + (- 1)^n + 1^n) = (- 1)^(n + 1) - 1
* p(- 1, y) = ((- 1) + y + 1)^n - ((- 1)^n + y^n + 1^n) = (- 1)^(n + 1) - 1
Dalla forma dei tre resti si nota che la loro annullabilità dipende dalla parità di n.
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A1) n = 2*k
* p(x, - x) = - (x^(2*k) + (- x)^(2*k)) = 2*x^(2*k)
* p(x, - 1) = p(- 1, y) = (- 1)^(2*k + 1) - 1 = - 2
che non s'azzerano per alcun valore di k né, ovviamente, di n pari.
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A2) n = 2*k + 1
* p(x, - x) = - (x^(2*k + 1) + (- x)^(2*k + 1)) = - (x^(2*k + 1) - (x)^(2*k + 1)) = 0
* p(x, - 1) = p(- 1, y) = (- 1)^(2*k + 1 + 1) - 1 = 0
che sono zero per ogni valore di k e, ovviamente, di n dispari.
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B) n dispari
B0) n = 1: p(x, y) = 0
B1) n = 3: p(x, y) = 3*(x + y)*(x + 1)*(y + 1)
B2) n = 5: p(x, y) = 5*(x + y)*(x + 1)*(y + 1)*(x^2 + x*y + y^2 + x + y + 1)
B3) n = 7: p(x, y) = 7*(x + y)*(x + 1)*(y + 1)*(x^4 + 2*y*x^3 + 3*x^2*y^2 + 2*x*y^3 + y^4 + 2*x^3 + 5*y*x^2 + 5*x*y^2 + 2*y^3 + 3*x^2 + 5*x*y + 3*y^2 + 2*x + 2*y + 1)
[...]
e così via.
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RISPOSTE
a) Determinare per quali n ...
* per quelli dispari: n = 2*k + 1
b) Scomporre ...
* per n = 2*k + 1: p(x, y) = n*(d(x, y))*(polinomio quoziente)