[Risolto] Disuguaglianze fra frazioni

Il ragionamento si basa interamente sul fatto che a,b,c sono positivi.

Prima di tutto abbiamo come ipotesi che a/b<c/d

1) siccome i denominatori sono positivi, puoi moltiplicare entrambe le funzioni per bd, in modo da eliminare le frazioni senza però cambiare il segno di disuguaglianza

ottieni quindi che ad<bc (la 1 è vera)

2) per la seconda abbiamo (a+c)/(b+d)<c/d. Anche qui come prima cerchiamo di eliminare le frazioni moltiplicando tutto per c*(b+d):

Ottieni  ad+cd<bc+cd  e semplificando cd ti rimane questo:

ad<bc (è la stessa cosa scritta nella 1, quindi è vera)

3) seguo lo stesso identico ragionamento per la terza disuguaglianza e ottengo:

ab+bc>ab+ad   che diventa:

bc>ad (è la solita disuguaglianza però scritta al contrario, quindi è vera anche questa)

In definitiva, sono vere tutte e tre!

"il ragionamento che c'è dietro" si chiama SISTEMA DI DISEQUAZIONI.
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"a, b, c, d sono numeri positivi" vuol dire che
* 0 < a/b < c/d
queste due disequazioni si mettono a sistema con ciascuna delle tre da verificare (e con le quattro positività): se il sistema ha soluzione vera ovunque la verifica ha successo.
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I) (0 < a/b < c/d) & (a*d < b*c) ≡ VERO: è lecito moltiplicare per b*d > 0.
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II) (0 < a/b < c/d) & ((a + c)/(b + d) < c/d) ≡ (a*d < b*c) ≡ VERO.
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III) (0 < a/b < c/d) & ((a + c)/(b + d) > a/b) ≡ (a*d < b*c) ≡ VERO.
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A. Valgono I, II ma non III: SCORRETTO (valgono tutt'e tre)
B. Valgono I, III ma non II: SCORRETTO (valgono tutt'e tre)
C. Valgono II, III ma non I: SCORRETTO (valgono tutt'e tre)
D. Vale solo la I: SCORRETTO (valgono tutt'e tre)
E. Valgono I, II, III: CORRETTO