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[Risolto] Distribuzioni uniforme, esponenziale e normale

  

1

Pompa di benzina. In base a dei controlli effettuati su una pompa di benzina, si è appurato che la quantità di benzina (espressa in litri) effettivamente erogata quando l'indicatore segna «l litro» è ben modellata da una variabile aleatoria normale di media 1 e deviazione standard 0,25 . Calcola la probabilità che la pompa:
a. eroghi meno di 0,9 litri;
b. eroghi più di 1,2 litri;
c. eroghi con una tolleranza del $10 \%$ in più o in meno.

Esprimi i risultati sotto forma di percentuale, arrotondandoli alla seconda cifra decimale.

$$
\text { [a. } 34,46 \% \text {; b. } 21,19 \% \text {; c. } 31,08 \% \text { ] }
$$

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Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.

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2

f(x)=1/√(2·pi·σ^2)·e^(- (x - μ)^2/(2·σ^2))

μ = 1

σ = 0.25

f(x)=1/√(2·pi·0.25^2)·e^(- (x - 1)^2/(2·0.25^2))

f(x)=2·√2·e^(- 8·x^2 + 16·x - 8)/√pi

∫(2·√2·e^(- 8·x^2 + 16·x - 8)/√pi) dx = ERF(2·√2·(x - 1))/2

P(X<0.9)

x → -∞ ad x = 0.9

ERF(2·√2·(0.9 - 1))/2 = - ERF(√2/5)/2

LIM(ERF(2·√2·(x - 1))/2) = - 1/2

x---> -∞

- ERF(√2/5)/2 - (- 1/2) = 0.3445782583 = 34.46%

P(X>1.2)

x va da x=1.2 ad x → +∞

LIM(ERF(2·√2·(x - 1))/2) = 1/2

x---> +∞

ERF(2·√2·(1.2 - 1))/2 = ERF(2·√2/5)/2

1/2 - ERF(2·√2/5)/2 = 0.2118553985= 21.19%

P(0.9 < X < 1.1)

x va da X00.9 ad x= 1.1

ERF(2·√2·(1.1 - 1))/2= ERF(√2/5)/2

ERF(2·√2·(0.9 - 1))/2 = - ERF(√2/5)/2

ERF(√2/5)/2 - (- ERF(√2/5)/2) = ERF(√2/5) = 0.3108434832 = 31.08%

 

 



1

X ~ N(1, 0.25^2)

a) Pr [ X < 0.9 ] = normcdf( (0.9-1)/0.25 ) = normcdf(-0.4) =

= 0.3446 => 34.46 %

b) Pr [ X > 1.2 ] = 1 - normcdf((1.2-1)/0.25) =

= 1 - normcdf(0.8) = 0.2119 => 21.19 %

c) Pr [0.9 < X < 1.1] = normcdf(0.4) - normcdf(-0.4) =

= 0.3108 => 31.08%

essendo ancora uan volta (1.1 - 1)/0.25 = 0.4



Risposta
SOS Matematica

4.6
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