Distribuzioni di probabilità

Question

Visita di leva. Alle visite di leva dei nati nel 1970, la statura risultò distribuita normalmente. Sapendo che il $10 \%$ dei ragazzi esaminati era più alto di 185 cm e il $15 \%$ di essi era più basso di 165 cm , determina la media e la deviazione standard della distribuzione. Calcola poi la probabilità che la statura di un individuo risultasse compresa tra 170 e 175 cm .

$$
[\mu \simeq 173,94 cm ; \sigma \simeq 8,63 cm ; p \simeq 22,5 \%]
$$

Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.

Autore

Risposta

ALBY

(@alby)

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15/07/2025 14:43

LucianoP · Accepted Answer

f(x) = 1/√(2·pi·σ^2)·e^(- (x - μ)^2/(2·σ^2))

∫(1/√(2·pi·σ^2)·e^(- (x - μ)^2/(2·σ^2))) dx=

=ERF(√2·(x - μ)/(2·σ))/2

x = 185 ad x → +∞

LIM(ERF(√2·(x - μ)/(2·σ))/2) = 1/2

x---> +∞

ERF(√2·(185 - μ)/(2·σ))/2 = - ERF(√2·(μ - 185)/(2·σ))/2

1/2 - (- ERF(√2·(μ - 185)/(2·σ))/2) = ERF(√2·(μ - 185)/(2·σ))/2 + 1/2

ERF(√2·(μ - 185)/(2·σ))/2 + 1/2 = 10%

da x → -∞ ad x = 165

ERF(√2·(165 - μ)/(2·σ))/2

LIM(ERF(√2·(x - μ)/(2·σ))/2) = - 1/2

x---> -∞

ERF(√2·(165 - μ)/(2·σ))/2 - - 1/2 = 1/2 - ERF(√2·(μ - 165)/(2·σ))/2

1/2 - ERF(√2·(μ - 165)/(2·σ))/2 = 15%

Devono essere verificate:

ERF(√2·(μ - 185)/(2·σ)) = - 4/5 ∧ ERF(√2·(μ - 165)/(2·σ)) = 7/10

LucianoP

(@lucianop)

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15/07/2025 16:18

EidosM · Answer

Possiamo scrivere

u + s*norminv(1 -0.1) = 185

u + s*norminv(0.15) = 165

u + 1.2816 s = 185

u - 1.0364 s = 165

sottraendo

2.318 s = 20

s = 8.63 cm

u = 165 + 1.0364 * 8.63 cm = 173.94 cm

Infine

Pr [E*] =

= normcdf( (175 - 173.94)/8.63) - normcdf( (170 - 173.94)/8.63) =

= 0.2249 ~ 22.5 %

EidosM

(@eidosm)

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15/07/2025 16:44

[Risolto] Distribuzioni di probabilità

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