Distribuzioni di probabilità

Question

Voto di laurea. Il voto di laurea conseguito dagli studenti di un certo ateneo è distribuito normalmente con media $\mu=103$ e deviazione standard $\sigma=6$ (per semplicità equipariamo la votazione 110 con lode a 110). Calcola la probabilità che:
a. due studenti abbiano entrambi avuto una votazione superiore a 107;
b. due studenti abbiano entrambi avuto una votazione compresa tra 100 e 105;
scelti due studenti a caso, uno di essi abbia avuto votazione inferiore a 100 e l'altro superiore a 102.

$$
[a . p \simeq 6,4 \% ; b . p \simeq 10,4 \% ; \text { c. } p \simeq 34,9 \%]
$$

Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.

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Risposta

ALBY

(@alby)

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livello:

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8892 6 1497

15/07/2025 14:44

LucianoP · Accepted Answer

f(x) = 1/√(2·pi·σ^2)·e^(- (x - μ)^2/(2·σ^2))

μ = 103

σ = 6

f(x) = 1/√(2·pi·6^2)·e^(- (x - 103)^2/(2·6^2))

f(x) = √2·pi^(- x^2/72 + 103·x/36 - 10609/72)/(12·√pi)

∫(√2·pi^(- x^2/72 + 103·x/36 - 10609/72)/(12·√pi)) dx=

=ERF(√2·(x - 103)/12)/2

x = 107 a x → +∞

LIM(ERF(√2·(x - 103)/12)/2) = 1/2

x----> +∞

ERF(√2·(107 - 103)/12)/2 = ERF(√2/3)/2

1/2 - ERF(√2/3)/2 = 0.2524925375

0.2524925375^2 = 0.06375248149 = 6.38%

(per tenere conto che gli studenti sono 2)

-------------------------------

P(100<X<105)

ERF(√2·(105 - 103)/12)/2= ERF(√2/6)/2

ERF(√2·(100 - 103)/12)/2= - ERF(√2/4)/2

ERF(√2/6)/2 - - ERF(√2/4)/2 = 0.3220211210

0.322021121^2 = 0.1036976023 = 10.37%

(per tenere conto che gli studenti sono 2)

----------------------------------

x → -∞ ad x = 100

ERF(√2·(100 - 103)/12)/2= - ERF(√2/4)/2

LIM(ERF(√2·(x - 103)/12)/2) = 1/2

x---> -∞

- ERF(√2/4)/2 - (- 1/2) = 0.3085375387

da x = 102 a x → +∞

LIM(ERF(√2·(x - 103)/12)/2) = 1/2

x---> +∞

ERF(√2·(102 - 103)/12)/2 = - ERF(√2/12)/2

1/2 - (- ERF(√2/12)/2) = 0.5661838326

2·(0.3085375387·0.5661838326) = 0.3493779323 = 34.94%

(2 per tenere conto di due studenti)

EidosM · Answer

Ci proviamo senza la correzione di continuità. Lo scrivo più tardi a mano. [attach]117313[/attach]

[Risolto] Distribuzioni di probabilità

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