Distribuzione di probabilità

Question

Distribuzioni di probabilitàSia X una variabile aleatoria binomiale di parametri n=6, p= frac {1}{2}.a. Determina la distribuzione di probabilità di X.b. Per quale valore di k($ con k  in N)$ è massima la probabilità che sia X=k ? left [ right .$ a. X può assumere i valori $0,1,2,3,4,5,6$, rispettivamente con probabilità  frac {1}{64},  frac {3}{32},  frac {15}{64},  frac {5}{16},  frac {15}{64},  frac {3}{32},  frac {1}{64};b. la probabilità è massima per k=3]$ [attach]116470[/attach] Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi ed argomentare.

RebC · Accepted Answer

Problema: Sia X una variabile aleatoria binomiale di parametri n=6, p= frac {1}{2} a. Determina la distribuzione di probabilità di X. b. Per quale valore di k (con k  in  mathbb {N}) è massima la probabilità che sia X=k? Soluzione: a. Poiché la variabile aleatoria segue una distribuzione binomiale X  sim Bin(n,p)$, si ha che  mathbb {P}(X=k)= binom {n}{k}p^k(1-p)^{n-k}. [spoiler title="Distribuzione binomiale"] La distribuzione binomiale è una distribuzione di probabilità discreta che descrive il numero di successi in una sequenza di prove indipendenti, dove ogni prova ha solo due possibili esiti: successo (con probabilità ( p )) o insuccesso (con probabilità ( 1-p )). Sia ( X ) una variabile aleatoria che rappresenta il numero di successi in ( n ) prove indipendenti. La distribuzione di ( X ) segue una distribuzione binomiale se:Ogni prova è indipendente;Ogni prova ha solo due possibili esiti (successo o insuccesso);La probabilità di successo è costante in ogni prova. La funzione di densità di probabilità per una variabile aleatoria binomiale ( X ) è data da: [P(X = k) =  binom {n}{k} p^k (1-p)^{n-k}] ove:  (  binom {n}{k} ) è il coefficiente binomiale, che rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere ( k ) successi in ( n ) prove, ( p ) è la probabilità di successo in una singola prova, ( 1 - p ) è la probabilità di insuccesso, ( n ) è il numero totale di prove, ( k ) è il numero di successi desiderati (con ( k = 0, 1,  dots , n )). Il valore atteso di una variabile aleatoria binomiale è: [ mathbb {E}(X) = n . p] La varianza di una variabile aleatoria binomiale è: [ Var (X) = n . p . (1 - p)] Proprietà di simmetria:La distribuzione binomiale è simmetrica quando ( p = 0.5 ), ma tende a diventare asimmetrica quando ( p ) si allontana da 0.5.   Proprietà di asintoticità:  Quando ( n ) è molto grande, la distribuzione binomiale può essere approssimata dalla distribuzione normale (Teorema del Limite Centrale). Indipendenza delle prove: Le prove della distribuzione binomiale sono indipendenti l'una dall'altra. [/spoiler] Per le proprietà del binomiale k  in [0,6]  subset  mathbb {N}_0$ dato che n=6$. Quindi sostituendo ogni valore di k si ottiene:  mathbb {P}(X=0)= binom {6}{0}( frac {1}{2})^0(1-( frac {1}{2}))^{6-0}= frac {1}{64}  mathbb {P}(X=1)= binom {6}{1}( frac {1}{2})^1(1-( frac {1}{2}))^{6-1}= frac {3}{32}  mathbb {P}(X=2)= binom {6}{2}( frac {1}{2})^2(1-( frac {1}{2}))^{6-2}= frac {15}{64}  mathbb {P}(X=3)= binom {6}{3}( frac {1}{2})^3(1-( frac {1}{2}))^{6-3}= frac {5}{16}  mathbb {P}(X=4)= binom {6}{4}( frac {1}{2})^4(1-( frac {1}{2}))^{6-4}= frac {15}{64}  mathbb {P}(X=5)= binom {6}{5}( frac {1}{2})^5(1-( frac {1}{2}))^{6-5}= frac {3}{32}  mathbb {P}(X=5)= binom {6}{6}( frac {1}{2})^6(1-( frac {1}{2}))^{6-6}= frac {1}{64} b. Il valore massimo, a causa della simmetria, si ha per k=3$ dato che è il punto medio tra 0 e 6.   Consiglio la lettura di questo articolo: https://andreailmatematico.it/statistica/probabilita/distribuzione-binomiale/

[Risolto] Distribuzione di probabilità

Domande