Sia $X$ una variabile aleatoria binomiale di parametri $n=50$ e $p=\frac{1}{10}$. Determina la media e la deviazione standard di $X$.
$$
\left[E(X)=5, \sigma(X)=\frac{3 \sqrt{2}}{2}\right]
$$
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi ed argomentare.
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Livello 2
Problema:
Sia $X$ una variabile aleatoria binomiale di parametri $n=50, p=\frac{1}{10}$ Determina la media e la deviazione standard di $X$.
Soluzione:
Poiché la variabile aleatoria segue una distribuzione binomiale $X \sim Bin(n,p)$, si ha che $\mathbb{E}(X)=np=\frac{50}{10}=5$ e $\text{Var}(X)=np(1-p)=5(\frac{9}{10})=\frac{9}{2}$.
Dato che la deviazione standard è definita come $\sigma(x)=\sqrt{\text{Var}(x)}$, si ha che $\sigma(x)=\frac{3√2}{2}$.
La distribuzione binomiale è una distribuzione di probabilità discreta che descrive il numero di successi in una sequenza di prove indipendenti, dove ogni prova ha solo due possibili esiti: successo (con probabilità \( p \)) o insuccesso (con probabilità \( 1-p \)).
Sia \( X \) una variabile aleatoria che rappresenta il numero di successi in \( n \) prove indipendenti. La distribuzione di \( X \) segue una distribuzione binomiale se:
Ogni prova è indipendente;
Ogni prova ha solo due possibili esiti (successo o insuccesso);
La probabilità di successo è costante in ogni prova.
La funzione di densità di probabilità per una variabile aleatoria binomiale \( X \) è data da:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]
ove: \( \binom{n}{k} \) è il coefficiente binomiale, che rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere \( k \) successi in \( n \) prove, \( p \) è la probabilità di successo in una singola prova, \( 1 - p \) è la probabilità di insuccesso, \( n \) è il numero totale di prove, \( k \) è il numero di successi desiderati (con \( k = 0, 1, \dots, n \)).
Il valore atteso di una variabile aleatoria binomiale è:
\[
\mathbb{E}(X) = n \cdot p
\]
La varianza di una variabile aleatoria binomiale è:
\[
\text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)
\]
Proprietà di simmetria:
La distribuzione binomiale è simmetrica quando \( p = 0.5 \), ma tende a diventare asimmetrica quando \( p \) si allontana da 0.5.
Proprietà di asintoticità:
Quando \( n \) è molto grande, la distribuzione binomiale può essere approssimata dalla distribuzione normale (Teorema del Limite Centrale).
Indipendenza delle prove:
Le prove della distribuzione binomiale sono indipendenti l'una dall'altra.
Consiglio la lettura di questo articolo: https://andreailmatematico.it/statistica/probabilita/distribuzione-binomiale/
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Livello 6
