Distanza di un punto da una retta

Question

Salve, ho il seguente problema da risolvere: « Determina le coordinate di un punto P, appartenente alla retta di equazione y-2x-1=0$, tale che la distanza di P da A(3;-1)$ sia 4. » Soluzione: P(-1;-1)$; P( frac {3}{5}; frac {11}{5})$   Io ho proceduto risolvendo il seguente sistema:  begin {cases} sqrt {(x_{p}-x_{a})^{2}+(y_{p}-y_{a})^{2}}=4 y _{p}-2x_{p}-1=0 end {cases} x_{p} e y_{p} sono le coordinate di P da trovare x_{a} e y_{a} sono le coordinate di A scritte nel problema La prima equazione serve a soddisfare la condizione che la distanza tra i punti P e A sia $4$; la seconda equazione impone che il punto P appartenga alla retta.   Risolvendo il sistema sono arrivato alla soluzione esatta, il problema è che l’esercizio si trova nel capito di applicazioni delle disequazioni. Quindi mi chiedevo se ci fosse un modo per risolvere il problema con le disequazioni e se voi poteste mostrarmelo.   Grazie in anticipo 😃

exProf · Accepted Answer

Localizzare su una data retta* r ≡ y = m*x + qalmeno un punto P(x, y) che sia a una data distanza d da un dato punto fisso C(a, b) signìfica calcolare i punti comuni, se ne esìstono, fra la retta r e la circonferenza Γ centrata in C e di raggio d* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = d^2luogo dei punti distanti d da C.Sembra proprio un problema in cui le disequazioni c'entrano come i càvoli a merenda (un mio ex collega, esimio italianista, avrebbe detto che l'Autore del libro ha "capito cazzi per lampioni".).La sola possibile diseguglianza che m'immagino (non in una disequazione, ma solo in una constatazione quando {a, b, d, m, q} siano valori e non sìmboli) è nel riconoscere il segno del discriminante della risolvente* (x - a)^2 + (m*x + q - b)^2 - d^2 = 0cioè di* Δ = 4*((m^2 + 1)*d^2 - (a*m - b + q)^2)---------------Con i dati del caso* (a, b, d, m, q) = (3, - 1, 4, 2, 1)si ha* Δ = 4*((m^2 + 1)*d^2 - (a*m - b + q)^2) = 4*((2^2 + 1)*4^2 - (3*2 + 1 + 1)^2) = 64 > 0quindi la positività del delta indica due radici reali distinte della risolvente e quindi due punti che soddisfanno alle specifiche.

Cenerentola · Answer

Con il procedimento allegato compare la disequazione per determinare l’esistenza della radice... [attach]4737[/attach]

[Risolto] Distanza di un punto da una retta

Domande