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[Risolto] Distanza di un punto da una retta

  

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Salve, ho il seguente problema da risolvere:

« Determina le coordinate di un punto $P$, appartenente alla retta di equazione $y-2x-1=0$, tale che la distanza di $P$ da $A(3;-1)$ sia 4. »

Soluzione: $P(-1;-1)$; $P(\frac{3}{5};\frac{11}{5})$

 

Io ho proceduto risolvendo il seguente sistema:

$\begin{cases}\sqrt{(x_{p}-x_{a})^{2}+(y_{p}-y_{a})^{2}}=4\\y_{p}-2x_{p}-1=0\end{cases}$

  • $x_{p}$ e $y_{p}$ sono le coordinate di $P$ da trovare
  • $x_{a}$ e $y_{a}$ sono le coordinate di $A$ scritte nel problema

La prima equazione serve a soddisfare la condizione che la distanza tra i punti $P$ e $A$ sia $4$; la seconda equazione impone che il punto $P$ appartenga alla retta.

 

Risolvendo il sistema sono arrivato alla soluzione esatta, il problema è che l’esercizio si trova nel capito di applicazioni delle disequazioni.

Quindi mi chiedevo se ci fosse un modo per risolvere il problema con le disequazioni e se voi poteste mostrarmelo.

 

Grazie in anticipo 😃

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2 Risposte
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Localizzare su una data retta
* r ≡ y = m*x + q
almeno un punto P(x, y) che sia a una data distanza d da un dato punto fisso C(a, b) signìfica calcolare i punti comuni, se ne esìstono, fra la retta r e la circonferenza Γ centrata in C e di raggio d
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = d^2
luogo dei punti distanti d da C.
Sembra proprio un problema in cui le disequazioni c'entrano come i càvoli a merenda (un mio ex collega, esimio italianista, avrebbe detto che l'Autore del libro ha "capito cazzi per lampioni".).
La sola possibile diseguglianza che m'immagino (non in una disequazione, ma solo in una constatazione quando {a, b, d, m, q} siano valori e non sìmboli) è nel riconoscere il segno del discriminante della risolvente
* (x - a)^2 + (m*x + q - b)^2 - d^2 = 0
cioè di
* Δ = 4*((m^2 + 1)*d^2 - (a*m - b + q)^2)
---------------
Con i dati del caso
* (a, b, d, m, q) = (3, - 1, 4, 2, 1)
si ha
* Δ = 4*((m^2 + 1)*d^2 - (a*m - b + q)^2) = 4*((2^2 + 1)*4^2 - (3*2 + 1 + 1)^2) = 64 > 0
quindi la positività del delta indica due radici reali distinte della risolvente e quindi due punti che soddisfanno alle specifiche.




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Con il procedimento allegato compare la disequazione per determinare l’esistenza della radice...

image

 

@Cenerentola Grazie mille 😊.

Hai ragione, non avevo pensato alle condizioni di esistenza del radicale, le avevo date per scontate. Quindi, probabilmente, è solo quello il passaggio in cui applicare le disequazioni.

Probabilmente si... Vediamo se qualcun altro ha altre soluzioni... A me non viene in mente altro... 

@Utente Avevi fatto bene a non pensarci: cercare le negatività di una somma di quadrati sarebbe come lavare la testa all'asino.



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