[Risolto] disequazioni frazionarie

NOTA: sulla tastiera gli operatori di diseguaglianza d'ordine sono a sinistra del tasto "Z".
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Una funzione fratta è positiva là dove numeratore e denominatore sono concordi, cioè hanno prodotto positivo, escludendo gli zeri di entrambi.
* (4 - 3*x)*(x^2 - 4)/(x - 1)^2 > 0 ≡
≡ ((4/3 - x)*(x^2 - 4)*(x - 1)^2 > 0) & (x non in {- 2, 1, 4/3, 2})
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Il polinomio
* p(x) = (4/3 - x)*(x^2 - 4)*(x - 1)^2 =
= (4/3 - x)*(x + 2)*(x - 2)*(x - 1)*(x - 1) =
= (x - 2)*(x - 1)*(x - 1)*(4/3 - x)*(x + 2)
ha
* uno zero doppio per x = 1
* tre zeri semplici per x in {- 2, 4/3, 2}
che suddividono l'asse x nei seguenti intervalli adiacenti
* x < - 2, - 2 < x < 1, 1 < x < 4/3, 4/3 < x < 2, x > 2
il polinomio mantiene il segno negl'intervalli separati dallo zero doppio e lo inverte fra quelli separati da uno zero semplice.
Pertanto basta una sola valutazione per avere tutti i segni.
Da
* p(0) = (0 - 2)*(0 - 1)*(0 - 1)*(4/3 - 0)*(0 + 2) = - 16/3 < 0
si vede che
* per - 2 < x < 4/3: p(x) < 0
* per x > 2: p(x) < 0
* per x < - 2: p(x) > 0
* per 4/3 < x < 2: p(x) > 0
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* (4 - 3*x)*(x^2 - 4)/(x - 1)^2 > 0 ≡
≡ (x < - 2) oppure (4/3 < x < 2)
CONTROPROVA nel paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%284-3*x%29*%28x%5E2-4%29%2F%28x-1%29%5E2%3E0