Per quali valori di $m \in \mathbb{R}$ le soluzioni dell'equazione $x^2+(m+1) x+|m-3|=0$ sono reali? $[m \leq-3-2 \sqrt{5} \vee m \geq$
Per quali valori di $m \in \mathbb{R}$ le soluzioni dell'equazione $x^2+(m+1) x+|m-3|=0$ sono reali? $[m \leq-3-2 \sqrt{5} \vee m \geq$
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Livello 0
x^2 + (m + 1)·x + ABS(m - 3) = 0
deve essere: Δ ≥ 0
quindi:
(m + 1)^2 - 4·ABS(m - 3) ≥ 0
4·ABS(m - 3) ≤ (m + 1)^2
(m+1)^2 >0 per ogni valore di m!
Quindi deve essere:
- (m + 1)^2/4 ≤ m - 3 ≤ (m + 1)^2/4
Cioè equivale a scrivere un sistema:
{m - 3 ≤ (m + 1)^2/4
{m - 3 ≥ - (m + 1)^2/4
Risolviamo la prima:
m - 3 ≤ m^2/4 + m/2 + 1/4
m^2/4 + m/2 + 1/4 - (m - 3) ≥ 0
m^2/4 - m/2 + 13/4 ≥ 0
m^2 - 2·m + 13 ≥ 0 sempre verificata!
Quindi passiamo alla seconda
m - 3 + (m + 1)^2/4 ≥ 0
m^2/4 + 3·m/2 - 11/4 ≥ 0
m^2 + 6·m - 11 ≥ 0
risolvo ed ottengo la soluzione del problema:
m ≤ - 2·√5 - 3 ∨ m ≥ 2·√5 - 3
77819
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Genius II