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[Risolto] Disequazioni

  

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Buonasera ho difficoltà nello svolgimento si questo problema

 

 Data una semicirconferenza di diametro AB = 2, considera un punto P, sul prolungamento di AB dalla parte di B, e traccia da P la tangente alla semicirconferenza, indicando con Q il punto di contatto. Indicata con x la distanza di P da B, determina per quali valori di x il segmento PQ risulta maggiore del raggio della circonferenza e minore del diametro.

 

grazie mille 

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@EnjaS

Screenshot 20221003 201049

Indicato con O il centro della circonferenza, il triangolo OQP è rettangolo con ipotenusa OP e cateto OQ = 1 (raggio della circonferenza). 

L'ipotenusa è:

 

OP = 1+x

 

Quindi:

PQ= radice [(x+1)² - 1] = radice [x² + 2x]  , x>0

 

 

In alternativa possiamo determinare PQ utilizzando il teorema della secante e della tangente

Screenshot 20221003 200152

Nel nostro caso:

PA:PQ = PQ:PB

 

Da cui si ricava:

PQ= radice [(2+x)*x]

 

Quindi bisogna determinare x/ 1< PQ <2

Imponendo la condizione richiesta si ricava:

 

radice (2) - 1 < x < radice (5) - 1

 

 



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Intanto un disegno su cui ragionarci sopra. Dopo cena, se mi ricordo ed ho voglia, vedo di rispondere alla domanda ( se riesco anche!)

image

y = √((1 + x)^2 - 1^2)-----> y = √(x^2 + 2·x)

Deve essere:

{√(x^2 + 2·x) < 2

{√(x^2 + 2·x) > 1

Le soluzioni delle singole disequazioni sono:

{0 ≤ x < √5 - 1 ∨ - √5 - 1 < x ≤ -2

{x < - √2 - 1 ∨ x > √2 - 1

La soluzione del sistema è:

[- √5 - 1 < x < - √2 - 1, √2 - 1 < x < √5 - 1]

essendo x>0 la 1^ è da scartare:

Quindi soluzione in grassetto (0.4142135623 < x < 1.236067977 )



Risposta




SOS Matematica

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