[Risolto] Disequazione logaritmica

Se poni log_2 x = t con x > 0 ( e diverso da 1 per via del secondo addendo )

log_x 2 = log 2/log x = 1/(log x/log 2) = 1/log_2 x) = 1/t

e t + 1/t >= 5/2   la sai risolvere.

(2 t^2 - 5t + 2)/t >= 0

2t^2 - 5t + 2 >= 0

intervalli esterni

t <= 1/2 V t >= 2

denominatore positivo t > 0

per cui

                      0      1/2       2

N      +++++++++++-------+++++++++

D      ------------+++++++++++++++++

N/D   ------------++++--------+++++++++

0 < t <= 1/2   V   t >= 2

1 <= x <= rad 2      V     x >= 4

@aurora28

Ciao e benvenuta.

Cambio base:

LN(x)/LN(2) + LN(2)/LN(x) ≥ 5/2

quindi scrivo il C.E.: x > 0 ∧ x ≠ 1

pongo: LN(x) = t

t/LN(2) + LN(2)/t ≥ 5/2---> (LN(2)^2 + t^2)/(t·LN(2)) - 5/2 ≥ 0

porto alla forma normale:

(2·LN(2)^2 - 5·t·LN(2) + 2·t^2)/(2·t·LN(2)) ≥ 0

(t - 2·LN(2))·(2·t - LN(2))/(2·t·LN(2)) ≥ 0

Risolvo la disequazione: 0 < t ≤ LN(2)/2 ∨ t ≥ 2·LN(2)

0 < LN(x) ≤ LN(2)/2 ∨ LN(x) ≥ 2·LN(2)

1 < x ≤ √2 ∨ x ≥ 4