[Risolto] Disequazione irrazionale con modulo

Nella disequazione
* (√(x^2 - 1) - x - 2)/(|x - 1|) < 0
la diseguaglianza d'ordine impone che il primo membro, oltre che definito (x != 1), sia anche reale (|x| >= 1); quindi
* (|x| >= 1) & (x != 1) ≡ (|x| > 1)
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Moltiplicare membro a membro per una quantità positiva non muta la diseguaglianza, quindi
* (√(x^2 - 1) - x - 2)/(|x - 1|) < 0 ≡
≡ (|x| > 1) & (√(x^2 - 1) - x - 2 < 0) ≡
≡ (√(x^2 - 1) < x + 2) & (|x| > 1)
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Quadrare membro a membro può introdurre soluzioni spurie, da escludere dal risultato.
* (√(x^2 - 1) < x + 2) & (|x| > 1) ≡
≡ (x^2 - 1 < (x + 2)^2) & (|x| > 1) ≡
≡ (x^2 - 1 - (x + 2)^2 < 0) & (|x| > 1) ≡
≡ (- (4*x + 5) < 0) & (|x| > 1) ≡
≡ (x > - 5/4) & ((x < 1) oppure (x > 1)) ≡
≡ (x > - 5/4) & (x < 1) oppure (x > - 5/4) & (x > 1) ≡
≡ (5/4 < x < 1) oppure (x > 1)
e qui c'è poco da escludere!
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CONTROPROVA al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=solve%28%E2%88%9A%28x%5E2-1%29-x-2%29%2F%28%7Cx-1%7C%29%3C0+for+x+real

L'unica traccia che rimane del denominatore é x =/= 1

N < 0   si scrive in forma normale  rad(x^2 - 1) < x + 2

ed equivale al sistema

{ x^2 - 1 >= 0    condizione di esistenza

{ x + 2 > 0        condizione di positività

{ x^2 - 1 < x^2 + 4x + 4        confronto di quadrati

a cui aggiungiamo : x =/= 1

Risulta

{ x <= -1  V x > 1

{ x > -2

{ -4x < 5 =>  x >  -5/4

e quindi   -5/4 < x <= -1 V x > 1

Devi stare attento che il modulo si libera dando origine a  due disequazioni irrazionali fratte.