Disequazione irrazionale

@Aurora_Lecchi

Ciao, 

Per la condizione di esistenza della radice quadrata devi imporre la condizione x²-1>=0

Per lo studio del segno del secondo membro devi porre x+3>0

 

Se il secondo membro è positivo puoi elevare a quadrato entrambi. Se il secondo membro è negativo la disequazione risulta sempre verificata nell'insieme di esistenza della radice. 

 

Quindi la soluzione è: x <= - 5/3

Ciao di nuovo.

Ammesso che esista il 1° membro, il 2°membro può essere non negativo (≥0) oppure negativo. Quindi hai due possibilità. Nella sostanza puoi risolvere i seguenti due sistemi e poi unire le due eventuali soluzioni ottenute:

1° sistema

{x + 3>=0

{(x^2 - 1) ≥ (x + 3)^2

v

2° sistema

{x + 3 < 0

{x^2 - 1 ≥ 0

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Dal 1° sistema si ottiene:

{x ≥ -3

{x ≤ - 5/3

quindi soluzione: [-3 ≤ x ≤ - 5/3]

Dal 2° sistema si ottiene:

{x < -3

{x ≤ -1 ∨ x ≥ 1

Quindi soluzione: [x < -3]

Unendo le due soluzioni:

([-3 ≤ x ≤ - 5/3] ∨ [x < -3]) = [x ≤ - 5/3]

 

 

MA TU LE RISPOSTE CHE TI MANDO IO LE LEGGI O NO?
Perché se non le leggi basta che me lo dici e io evito di scrivertene altre.
Oggi pomeriggio (anzi ieri, è passata mezzanotte) nella mia risposta
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/68306/
marcata "16/09/2022 18:39" t'avevo scritto quanto segue.
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«"radicale di indice n" è una subespressione con esponente frazionario "m/n".
Per semplificare le espressioni di dis/equazioni con più radicali si itera la successione di azioni {isolare un radicale, semplificare elevando a "n/m" membro a membro}, fin quando non si siano eliminati tutti i denominatori degli esponenti; però con una cautela finale: se, anche in una sola delle semplificazioni, il radicale eliminato ha indice pari, allora è possibile che la quadratura abbia introdotto soluzioni spurie.
Alla fine dell'elaborazione risolutiva si deve depurare da esse l'insieme delle soluzioni.»
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E poi t'ho mostrato due esempi svolti con questa procedura, dove di condizioni d'esistenza non se ne parla neppure (c'è la verifica anti spurie, no?).
E tu, su un esercizio marcato "16/09/2022 22:23", a neanche sei ore di distanza, che fai?
TI VAI A INFOGNARE CON LE CONDIZIONI D'ESISTENZA invece di applicare la semplicissima procedura risolutiva che t'avevo indicato.
Beh, ti piace soffrire!
INOLTRE: i radicali con radicandi reali, in quanto potenze a esponente razionale, sono definiti ovunque e la loro condizione d'esistenza è "per ogni argomento".
La condizione "per ogni argomento reale non negativo", molto più restrittiva, non riguarda l'esistenza del radicale: riguarda solo la realtà del valore assunto.
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NEL CASO IN ESAME
59) √(x^2 - 1) >= x + 3 ≡
≡ (x^2 - 1 >= (x + 3)^2) ≡
≡ (x^2 - 1 - (x + 3)^2 >= 0) ≡
≡ (- 2*(3*x + 5) >= 0) ≡
≡ (3*x + 5 <= 0) ≡
≡ x <= - 5/3
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Verifiche
per x = - 6/3: √((- 6/3)^2 - 1) >= - 6/3 + 3 ≡ √3 >= 1 ≡ Vero
per x = - 5/3: √((- 5/3)^2 - 1) >= - 5/3 + 3 ≡ 4/3 >= 4/3 ≡ Vero
per x = - 4/3: √((- 4/3)^2 - 1) >= - 4/3 + 3 ≡ √7/3 ~= 0.88 >= 5/3 ≡ Falso