[Risolto] Disequazione Goniometrica Fratta

Ciao!

$$ \frac{\sqrt{2}\sin(x)-1}{\sqrt{2}\sin(x)+1} > 0 $$

Prima di tutto studiamo separatamente numeratore e denominatore.

Numeratore: $\sqrt{2}\sin(x)-1 > 0 $

$\sqrt{2} \sin(x) > 1 $
$\sin(x) > \frac{1}{\sqrt{2}}$
(Razionalizziamo)
$\sin(x) > \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ora risolviamo la disequazione goniometrica. 
Il metodo che uso io è rappresentare la circonferenza:

Quindi, dato che vogliamo valori superiori a $\frac{\sqrt{2}}{2}$, dobbiamo considerare

$x \in (\frac{\pi}{4}; \frac{3 \pi}{4})$

Un'altra tecnica è quella della rappresentazione della sinusoide:

che ovviamente ci porta allo stesso risultato.

Studiamo ora il segno del numeratore:

$\sqrt{2}\sin(x)+1 > 0 $
$\sqrt{2}\sin(x)>-1$
$\sin(x)> -\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{2}$

Risolviamo la disequazione goniometrica:

Dato che vogliamo ancora valori $>$, dobbiamo prendere 

$x \in [0, \frac{5}{4} \pi ) \cup (\frac74 \pi; 2 \pi]$ oppure ricordando che $\frac74 \pi = -\frac{\pi}{4}$

$x \in (-\frac{\pi}{4}; \frac54 \pi)$

Anche il metodo della sinusoide ci dà lo stesso risultato,

Facciamo lo studio del segno:

(Ok, il disegno lascia a desiderare...)

In arancione le soluzioni della prima disequazione, in verde quelli della seconda, e in nero le soluzioni totali.

Quindi: $  \frac{\pi}{4} < x < \frac34 \pi \vee \frac54 \pi < x < \frac74 \pi $

aggiungiamo la periodicità: 

$  \frac{\pi}{4} +2k \pi< x < \frac34\pi +2k\pi \vee \frac54 \pi +2k \pi < x < \frac74 \pi+2k \pi $

Dato che questa soluzione ha una bellissima simmetria, possiamo sbizzarrirci nello scriverla più "brevemente" usando altre periodicità, ad esempio:

$  \frac{\pi}{4} +k \pi< x < \frac34\pi +k\pi $ 

perché la metà sopra è uguale a quella sotto