Disequazione esponenziale

@Beppe

Ciao Beppe, 

Una soluzione può essere:

Buona serata.

Stefano 

2^x - 1 > radicequadrata(3 * 2^x - 3);

esistenza: deve essere   3 * 2^x - 3 > 0;

2^x > 3/3;  2^x > 1; x > 0. La soluzione deve essere maggiore di 0.

eleviamo al quadrato:

(2^x - 1)^2 > 3 * 2^x - 3;

2^(2x) + 1 - 2 * 2^x - 3 * 2^x + 3 > =

2^(2x) - 5 * 2^x + 4 > 0;

poniamo 2^x = y, troviamo le radici dell'equazione:

y^2 -  5y + 4 = 0;

y = [+ 5 +- radice(25 - 16) ] / 2;

y = [5 +- 3 ] / 2;

y1 = 8 / 2 = 4;

y2 = 2/2 = 1; (questa soluzione è da scartare, perché  2^x = 1; x = 0, non può essere).

y1 = 2^x;

2^x = 4;

x = 2;

La disequazione è vera per x > 2.

Esempio di prova:

x = 3;

2^3 - 1 = 7;

radicequadrata(3 * 2^3 - 3) = rad(24 -3) = rad(21) = 4,58;

7 > 4,58, vero.

ciao  @beppe

2^x - 1 > √(3·2^x - 3)

2^x = t

t - 1 > √(3·t - 3)

√(3·t - 3) < t - 1

Disequazione irrazionale con un radicale quadratico riportabile ad un sistema di 3 disequazioni razionali intere:

{3·t - 3 ≥ 0 (assicura la realtà della radice quadrata)

{t - 1 > 0 (conseguenza dell'esistenza della radice quadrata

{3·t - 3 < (t - 1)^2 ( vale in virtù delle condizioni su esposte)

--------------------------

Le prime due si riducono ad una sola condizione:

{t > 1

{3·t - 3 < t^2 - 2·t + 1

-------------------------

{t > 1

{t^2 - 5·t + 4 > 0-----> t < 1 ∨ t > 4

soluzione:

[t > 4]------> 2^x > 4-----> x > 2

Con
* u = 2^x - 1
si ha
* 2^x - 1 > √(3*2^x - 3) ≡
≡ √(3*u) < u ≡
≡ u > 3 ≡
≡ 2^x - 1 > 3 ≡
≡ 2^x > 4 = 2^2 ≡
≡ x > 2