Disequazione esponenziale.

@Giuseppe23 

Essendo x indice della radice, deve essere un numero naturale maggiore di zero. Inoltre per l'esistenza della radice quadrata possiamo dire che x € N/ x>=2.

L'esponente radice (x²-3) è razionale per x=2

Per tale valore la disequazione stretta risulta verificata. 

Posso provarci ma ho un dubbio anch'io. 

(1/2)^rad(x^2 - 3) * rad_x (4) - 1 >= 0 

si può riscrivere, portando tutte le basi a 2, nella forma equivalente 

2^[- rad(x^2 - 3) ] + [2^2]^(1/x) >= 1 

2*[2/x - rad(x^2 - 3)] >= 2^0

2/x - rad(x^2 - 3) >= 0

rad(x^2 - 3) <= 2/x 

che si riporta al sistema 

{ x^2 - 3 >= 0

{ 2/x > 0

{ x^2 - 3 <= 4/x^2

ovvero    (x <= - rad(3) V x >= rad(3) ) & x > 0 => x >= rad(3)

x^4 - 3x^2 - 4 <= 0

x^4 - 4x^2 + x^2 - 4 <= 0

x^2(x^2 - 4) + (x^2 - 4) <= 0

(x^2 - 4)(x^2 + 1) <= 0

x^2 - 4 <= 0    =>  - 2 <= x <= 2 

che, combinata con x >= rad(3) per intersezione, dà 

rad(3) <= x <= 2.

Ora, se si pretende che in quanto indice di radice, x sia intero, 

allora può essere soltanto x = 2. 

Se non é così, perché  si riesce a dare comunque un senso a 

quella espressione, allora rad(3) <= x <= 2.

La funzione a primo membro è definita per x != 0 ed è definita reale per x^2 >= 3, cioè per (x <= - √3) oppure per (x >= √3).
La presenza di una diseguaglianza d'ordine pone la condizione che entrambi i membri abbiano valori reali, quindi impone il vincolo x^2 >= 3.
Non occorre alcun vincolo d'interezza su x, è sufficiente che sia reale.
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ESERCIZIO
335) ((1/2)^√(x^2 - 3))*4^(1/x) - 1 >= 0 ≡
≡ 2^(2/x - √(x^2 - 3)) >= 1 ≡
≡ log(2, 2^(2/x - √(x^2 - 3))) >= log(2, 1) ≡
≡ 2/x - √(x^2 - 3) >= 0 ≡
≡ 2/x >= √(x^2 - 3)
dove si vede che, per x >= √3, la semiperbole
* y = √(x^2 - 3) ≡ ((x/√3)^2 - (y/√3)^2 = 1) & (y >= 0)
è crescente, mentre l'iperbole
* y = 2/x
è decrescente, quindi hanno un'unica intersezione reale in P(2, 1).
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CONCLUSIONI
1) ((1/2)^√(x^2 - 3))*4^(1/x) - 1 >= 0 ≡
≡ 2/x >= √(x^2 - 3) ≡
≡ √3 <= x <= 2
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2) Il risultato atteso [x = 2] E' CLAMOROSAMENTE ERRATO PER CARENZA o di specificazione a monte oppure di analisi a valle.
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3) Quest'esercizio è il 14721-mo esempio trovato su questo sito di estratto da un testo adottato proprio in quanto antieducativo.