[Risolto] Disequazione

La disequazione
* N(x)/D(x) = (2*x^2 + 4*x + 2)*(- x^2 - 25)/(((3*x + 4)^2)*(- 5*x - 6)^3) < 0
ha un primo membro che, in quanto rapporto fra polinomi, è negativo solo là dove essi siano discordi.
Anzitutto si escludono i valori che azzerano il denominatore
* x non in {- 4/3, - 6/5}
Poi conviene esaminare i quattro fattori uno per volta.
1) (2*x^2 + 4*x + 2) = 2*(x + 1)^2 >= 0
per x = - 1 azzera il primo membro e falsifica l'espressione;
per x != - 1 non influisce sul segno.
2) (- x^2 - 25) = - (x^2 + 25) < 0
non influisce sul segno. Quindi, escludendo x != - 1, si scrive
* N(x)/D(x) = (2*x^2 + 4*x + 2)*(- x^2 - 25)/(((3*x + 4)^2)*(- 5*x - 6)^3) < 0 ≡
≡ (1/(((3*x + 4)^2)*(- 5*x - 6)^3) > 0) & (x != - 1)
3) (3*x + 4)^2 = 9*(x + 4/3)^2 >= 0
per x = - 4/3 azzera il denominatore e l'espressione perde senso;
per x != - 4/3 non influisce sul segno.
* N(x)/D(x) < 0 ≡
≡ (1/(((3*x + 4)^2)*(- 5*x - 6)^3) > 0) & (x != - 1) ≡
≡ (1/(- 5*x - 6)^3 > 0) & (x != - 4/3) & (x != - 1) ≡
4) (- 5*x - 6)^3 = - 125*(x + 6/5)^3
per x = - 6/5 azzera il denominatore e l'espressione perde senso;
per x != - 6/5 determina il segno.
Sotto la condizione di escludere x in {- 4/3, - 6/5, - 1} si ha
* N(x)/D(x) < 0 ≡
≡ 1/(- 5*x - 6)^3 > 0 ≡
≡ 1/(- 125*(x + 6/5)^3) > 0 ≡
≡ 1/(x + 6/5)^3 < 0 ≡
≡ x + 6/5 < 0
≡ x < - 6/5
RISULTATO
* N(x)/D(x) < 0 ≡
≡ (x < - 6/5) & (x non in {- 4/3, - 6/5, - 1}) ≡
≡ (x < - 6/5) & (x != - 4/3)
CONTROPROVA nel paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%282*x%5E2--4*x--2%29*%28-x%5E2-25%29%2F%28%28%283*x--4%29%5E2%29*%28-5*x-6%29%5E3%29%3C0

@MartynaM 

Il numeratore può essere scritto:

N(x) = - 2* (x+1)² * (x² + 25)

Il numeratore risulta essere una quantità sempre negativa o nulla. Poiché vogliamo f(x) <0 in senso stretto dovrà essere

x≠-1

Se vogliamo l'intera frazione negativa dovrà essere il denominatore positivo, quindi

(-5x-6)>0

X< -6/5 e x≠ - 4/3

Quindi 

S={x/ x< - 6/5 e x≠ - 4/3} 

@martynam Questi i miei calcoli (torna come @stefanopescetto  😊 ) :