Buonasera! Vorrei un confronto per lo svolgimento di questo esercizio, grazie mille!!!!
In un triangolo rettangolo ABC, l'ipotenusa BC misura 5 e il cateto AC misura 3. Considera un punto P su BC e indica con H la sua proiezione su AC. Quali valori deve assumere la misura di PH perché l'area del trapezio ABPH sia minore o uguale a 3?
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Livello 1
Il cateto AB = 4 u (terna pitagorica 3-4-5)
L'area del trapezio è la differenza tra l'area del triangolo ABC e l'area del triangolo CPH. Se l'area del trapezio deve risultare minore o uguale a 3u², essendo l'area del triangolo ABC= 6 u², l'area del triangolo CPH deve essere maggiore o uguale a 3u².
I triangoli ABC e CPH simili (3 angoli ordinatamente congruenti); se ABC ha area 6 u² e CPH ha area 3 u², il rapporto di similitudine è:
k= radice (6/3) = radice (2)
Quindi:
PH = AB/radice (2) = 4/radice (2) = 2*radice (2)
La condizione richiesta risulta verificata se:
PH >= 2*radice (2) u
(PH < 4 u)
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Genius II
Usando la similitudine e ponendo PH = x
S_ABC = 3*RAD(5^2 - 3^2)/2 = 3/2 * 4 = 6
S_ABPH = S_ABC - S_CPH = 6 - 6 k^2
essendo k = x/4 con 0 <= x <= 4
6 ( 1 - x^2/16 ) <= 3
1 - x^2/16 <= 1/2
x^2/16 >= 1/2
x^2 >= 8
x >= 2 rad(2)
e infine 2 rad(2) <= PH <= 4
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Livello 6
La richiesta di un confronto è inesaudibile: dimenticasti di fornire cosa confrontare!
Con i seguenti nomi e valori
* |AB| = c = 3; |AC| = b = 4; |BC| = a = 5; |PH| = x; |AH| = h
l'area S del trapezio ABPH, prodotto fra altezza h e media delle basi c e x, è
* S(x) = h*(c + x)/2 = h*(3 + x)/2
e soddisfà alla condizione per
* (h*(3 + x)/2 <= 3) & (0 < x < 3) & (0 < h < 4) ≡
≡ (h*(3 + x)/2 <= 3) & (0 < x < 3) & (0 < h < 2) ≡
≡ (0 < h <= 1) & (0 < x <= 9/4) oppure (1 < h < 2) & (9/4 < x <= 6/h - 3)
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Genius I
