[Risolto] Discutere la convergenza al variare del parametro k

Vediamo il primo.

Consideriamo due diversi casi in funzione del valore assunto dal parametro.

Per k = 0

• Problemi.
  • • L'insieme di integrazione non è limitato ne superiormente ne inferiormente
    • La funzione non è limitata superiormente per x = 0.

Spezziamo l'integrale in

$\displaystyle\int_{-\infty}^{-1} \frac {1}{x^2} \, dx + \displaystyle\int_{-1}^0 \frac {1}{x^2}\, dx + \displaystyle\int_0^1 \frac {1}{x^2}\, dx + \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac {1}{x^2}\, dx$ 

Osserviamo che:

-) il primo e il quarto sono integrali convergenti

-) il secondo e il terzo divergono a +∞

Risultato. l'integrale risulta divergente a +∞. 

.

Per k ≠ 0

Indichiamo con I il risultato.

Possiamo fattorizzare il k² dalla funzione integranda

$I = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \frac {1}{k^2((\frac{x}{k})^2+1)} \, dx$

con abuso di notazione

$I = \left (\frac{1}{k} arctan(\frac{x}{k}) \right|_{-\infty}^{+\infty}$

$I = \frac {\pi}{4}$

Tutto in linea con le tue risposte.

L'abuso di notazione sta nel non aver spezzato l'integrale in due e di non aver introdotto i limiti come da definizione di integrale improprio. 

\[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x dx}{x^2 + k^2} \:\Bigg|_{\substack{k = 0}} = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x dx}{x^2} = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{x} \quad \text{diverge}\,.\]

\[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x dx}{x^2 + k^2} \:\Bigg|_{\substack{k \neq 0}}^{x = ku} = \int_{\infty}^{+\infty} \frac{ku \cdot kdu}{k^2u^2 + k^2} = \int_{\infty}^{+\infty} \frac{u du}{u^2 + 1} = 0\,.\]