proprietà logaritmo

Applicando le proprietà algebriche elementari dei logaritmi del prodotto e del rapporto:

\[\log{\frac{a^3(a^2 + 1)}{b^2}} = \log{a^3} + \log{(a^2 + 1)} - \log{b^2} = 3\log{a} + \log{(a^2 + 1)} - 2\log{b}\,.\]

Risposta al testo che hai pubblicato, interpretato letteralmente.
"Salve a tutti"
Grazie, che possa salvarti anche tu.
"vorrei sapere se andava bene come ho risolto io oppure no"
Qual che fosse la condizione del tuo "vorrei", posso dirti che no: non andava bene!
Quindi, anche se ci fosse stata qualcosa da risolvere (e non c'era: l'esercizio 88 chiede uno sviluppo, non una risoluzione!), non l'hai risolta tu.
"se no riusciresti a spiegarmi il motivo"
Sì, ci riuscirei.
Risposta al dubbio che t'ha indotto a pubblicare quell'orribile testo (interpretato spiritualmente).
L'errore che hai commesso è consistito nell'applicare l'inesistente regola «Il logaritmo di una somma è eguale alla somma dei logaritmi degli addendi»: questa non è una regola perché l'addizione ha una priorità superiore a quella del logaritmo che si applica solo alla somma.
Tu al posto della corretta identità
* log((a^5 + a^3)/b^2) = log(a^5 + a^3) - 2*log(b)
hai scritto l'equazione
* log((a^5 + a^3)/b^2) = 5*log(a) + 3*log(a) - 2*log(b)
che per ogni b > 0 è vera per a^5 - a^2 - 1 = 0 cioè per a ~= 1.2 e per due coppie di radici complesse coniugate.