SOPRA L ARCO AB QUARTA OARTE DELLA CIRCONFERENZA DI CENTRO O E RAGGIO 2R DETERMINARE UN PUNTO P TALE CHE DETTI ME N I DUEVPUNTU SITUATI SUI RAGGI OA E OB ALLA DISTANZA R DA O IL QUADRANDANGOLO MONP ABBIA AREA KR^2 ESSENDO K UN NUMERO REALE POSITIVO
SOPRA L ARCO AB QUARTA OARTE DELLA CIRCONFERENZA DI CENTRO O E RAGGIO 2R DETERMINARE UN PUNTO P TALE CHE DETTI ME N I DUEVPUNTU SITUATI SUI RAGGI OA E OB ALLA DISTANZA R DA O IL QUADRANDANGOLO MONP ABBIA AREA KR^2 ESSENDO K UN NUMERO REALE POSITIVO
4983
punti
Livello 2
Scrivi meglio e non urlare.
Testo esercizio
Sopra l'arco AB, quarta parte della circonferenza di centro O e raggio 2R determinare un punto P tale che detti M e N i due punti situati sui raggi OA e OB alla distanza R da O, il quadrangolo MONP abbia area kR^2, essendo k un numero reale e positivo
16272
punti
Livello 8
Il quarto di circonferenza ha equazione:
y = √(4·r^2 - x^2) con 0 < x < 2·r
Quindi il punto P ha coordinate:
P [x, √(4·r^2 - x^2)]
mentre invece.
M [r, 0] ; N [0, r]
Α = x·y - 1/2·(y - r)·x - 1/2·(x - r)·y
è l'area del quadrilatero MONP
Α = r·(x + y)/2
Α = k·r^2
quindi:
r·(x + y)/2 = k·r^2----> k = (x + y)/(2·r)
Valori che può assumere k:
x = 0 : k = (0 + √(4·r^2 - 0^2))/(2·r)
k = 1
x = 2·r : k = (2·r + √(4·r^2 - (2·r)^2))/(2·r)
k = 1
In tal caso il quadrilatero degenera in un triangolo rettangolo in O
Per y=x
si ha un valore massimo di k:
√(4·r^2 - x^2) = x-----> x = √2·r
k = (√2·r + √2·r)/(2·r)-----> k = √2
Quindi:
1 ≤ k ≤ √2
e inoltre:r^2 ≤ Α ≤ √2·r^2
115480
punti
Genius III