tangenti di parabole

Metto a sistema:

{y = m·x + q

{y = x^2 - x - 1

Risolvo per sostituzione:

x^2 - x - 1 - (m·x + q) = 0

x^2 - x·(m + 1) - q - 1 = 0

Δ = (- (m + 1))^2 + 4·(q + 1)

Δ = m^2 + 2·m + 4·q + 5

m^2 + 2·m + 4·q + 5 = 0  (condizione di tangenza)

Altra parabola:

{y = m·x + q

{y = - x^2 - x - 3

Risolvo per sostituzione:

- x^2 - x - 3 - (m·x + q) = 0

- x^2 - x·(m + 1) - q - 3 = 0

x^2 + x·(m + 1) + q + 3 = 0

Δ = (m + 1)^2 - 4·(q + 3)

Δ = m^2 + 2·m - 4·q - 11

m^2 + 2·m - 4·q - 11 = 0  (condizione di tangenza)

Calcoliamo m e q con il sistema delle due condizioni di tangenza;

{m^2 + 2·m - 4·q - 11 = 0

{m^2 + 2·m + 4·q + 5 = 0

Risolviamo per sostituzione: q = (m^2 + 2·m - 11)/4 dalla 1^ che inseriamo nella 2^

m^2 + 2·m + 4·((m^2 + 2·m - 11)/4) + 5 = 0

2·m^2 + 4·m - 6 = 0------> 2·(m - 1)·(m + 3) = 0

soluzione due rette tangenti:

m = -3 ∨ m = 1

Con m = -3

q = ((-3)^2 + 2·(-3) - 11)/4---> q = (-8)/4----> q = -2

Con m = 1:

q = (1^2 + 2·1 - 11)/4---->q = (-8)/4----> q = -2

Rette tangenti:

y = - 3·x - 2

y = x - 2

La retta tangente è caratterizzata dal fatto che l'intersezione con la parabola è un punto reale con molteplicità 2. 

a.

Determiniamo le intersezioni tra la prima parabola e una generica retta (y = mx+q)  e imponiamo la tangenza, cioè che l'intersezione sia un punto con molteplicità 2.

Le intersezioni sono date dalla soluzione del sistema retta/parabola

$ \begin{cases} y = x^2-x-1 = 0 \\ y = mx+q \end{cases} $

Sistema che si risolve per confronto, le soluzioni sono date dall'equazione

$ x^2-(m+1)x-1-q = 0 $

Imponiamo la tangenza (molteplicità doppia) ovvero discriminante eguale a zero.

$ Δ = 0  \; ⇒ \; (m+1)^2 + 4(1+q) = 0 \; ⇒ \; q = -\frac{m^2+2m+5}{4} $

La generica retta tangente ha la forma $ y = mx -\frac{m^2+2m+5}{4} $

b.

Procediamo analogamente, imponendo che la retta tangente precedente sia tangente anche con la seconda parabola

$ \begin{cases} y = -x^2-x-3 = 0 \\ y = mx-\frac{m^2+2m+5}{4}   \end{cases} $

Sistema che si risolve per confronto, le soluzioni sono date dall'equazione

$ x^2+(m+1)x+3- \frac{m^2+2m+5}{4} = 0 $

Imponiamo la tangenza (molteplicità doppia) ovvero discriminante eguale a zero.

$ Δ = 0  \; ⇒ \; (m+1)^2 -12+m^2+2m+5 = 0 \; ⇒ \; m^2+2m-3 = 0 $

L'equazione in m ammette due soluzioni reali per cui ci aspettiamo due retta tangenti:

1. m = 1 \; ⇒ \; q = -\frac{1+2+5}{4} = -2 \; ⇒ \; y = x-2 $
2. m = -3 \; ⇒ \; q = 3-\frac{9+6+5}{4} = -2 \; ⇒ \; y = -3x-2 $