[Risolto] Dimostrazioni quadrilateri

@IlariaMontanari

 

Il triangolo BFE è rettangolo isoscele in quanto l'angolo in B:

B= Angolo (FBC) + Angolo (CBE) = 60+(90-60) = 90°

BE=BF per costruzione (lato del triangolo equilatero è congruente al lato del quadrato)

 

L'ipotenusa EF risulta congruente con la misura del cateto per radice 2 (diagonale di un quadrato). 

 

I triangoli AFB e DFC sono isosceli sulle basi AF e DF con angolo al vertice di 90+60=150° e angoli alla base di 15 gradi. 

Sono triangoli congruenti poiché hanno due lati e l'angolo compreso ordinatamente congruenti.

In particolare AF=DF

 

Il triangolo AFD risulta quindi isoscele con angoli alla base di 75° e angolo al vertice di 30 gradi. 

Ciascun angolo alla base risulta infatti la differenza tra l'angolo retto del quadrato e l'angolo alla base di 15° dei triangoli isosceli congruenti AFB e DFC. 

 

Il punto E si trova sulla metà del lato del quadrato (L) ad altezza (L/2)*radice (3), altezza del triangolo equilatero 

Indicando con H la proiezione di E sul lato superiore del quadrato:

HE = (L/2)*tan(15)

 

Poiche:

(L/2)*tan(15)+(L/2)*radice (3) = L

(ossia EH + ALTEZZA TR. EQUILATERO = L_QUADRATO) 

 

possiamo concludere che E appartiene al segmento DF. 

 

N. B;

Infatti:

(L/2)*tan(15)+(L/2)*radice (3) = L

(L/2)*(2-radice 3) + (L/2)*radice (3) = L

 

tan(15)=tan(60-45)= 2-radice (3)

Formule trigonometria tan(a - b)

 

Determinare le ampiezze degli angoli interni del triangolo BFE si fa per ispezione.
Determinare le ampiezze degli angoli interni del triangolo ADF si fa con le Tavole.
Dimostrare che i punti F, E, D sono allineati si fa col riferimento Oxy in cui siano
* A(0, 0), B(1, 0), D(0, 1)
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Sia ABCD il quadrato di lato L.
Il triangolo BFE è isoscele e rettangolo per costruzione e quindi, essendo metà di un altro quadrato di lato L, ha angoli interni di π/2, π/4, π/4.
Anche il triangolo ADF è isoscele per costruzione, ma non è rettangolo; ha base |AD| = L e altezza |FM| = (1 + √3/2)*L, dove M è il punto medio di AD.
Gli angoli interni (φ in F, δ in D e in A) si ricavano da quelli del triangolo rettangolo con cateti, a meno di L,
* a = 1/2
* b = (1 + √3/2)
e ipotenusa
* c = √((1/2)^2 + (1 + √3/2)^2) = √(2 + √3)
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NOTE
Dovresti usare la Tavola degli Archi Notevoli, sui multipli di 15°.
Se la tua Tavola ne riporta pochi, usa le seguenti coppie {gradi, coseno}
{15, √(2 + √3)/2}, {75, √(2 - √3)/2}, {105, - √(2 + √3)/2}, {165, - √(2 - √3)/2},
{30, √3/2}, {150, - √3/2},
{45, 1/√2}, {135, - 1/√2},
{60, 1/2}, {120, - 1/2},
{90, 0}
Devi trovare
* δ = arccos(1/(2*√(2 + √3))) = (5/12)*π = 75°
* φ = (2/12)*π = 30°
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Dimostrare che i punti F(1 + √3/2, 1/2), E(1/2, √3/2), D(0, 1) sono allineati equivale a calcolare l'area del loro triangolo e verificare che vale zero o anche a calcolare la congiungente di due di essi
* EF ≡ (2 - √3)*x + y = 1
e verificare che le coordinate del terzo, D(0, 1), soddisfacciano all'equazione.