[Risolto] Dimostrazione geometria

@leo07

Ciao. Intanto un disegno su cui poi ci lavoriamo sopra:

In un triangolo acutangolo ABC, sia AH l'altezza relativa a BC. L'asse di BH incontra AB in P e l'asse di HC incontra AC in Q. Dimostra che:

APH e AQH sono triangoli isosceli

PAQ e PHQ sono congruenti

La retta PQ è parallela a BC

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Le rette QL, AH, PM sono parallele tra loro per costruzione in quanto QL e PM sono assi dei segmenti HC ed HB quindi perpendicolari ad essi e di conseguenza paralleli all’altezza AH che è perpendicolare a BC.

Inoltre in quanto assi di segmenti sono tali per cui risulta:

CL = LH e poi HM = MB

Quindi per il piccolo teorema di Talete deve risultare:

AQ = QC e anche AP=PB

Poi, per definizione di asse di un segmento deve risultare:

QH = QC    e   PH = PB

Quindi, per la proprietà transitiva delle uguaglianze dovrà risultare:

AQ=QH    e   AP = PH

Che indicano che i triangoli AQH ed APH sono triangoli isosceli.

Ne consegue che i triangoli PAQ e PHQ sono congruenti per il terzo criterio di congruenza in quanto hanno un lato in comune e gli altri due congruenti per quanto abbiamo appena dimostrato.

La retta PQ è parallela a BC in quanto altezza comune di due triangoli isosceli aventi base in comune e pertanto perpendicolare ad AH.

L'angolo in A è retto, e AQ è la bisttrice di CAH

1) i triangoli ABH e ACH sono simili, quindi i due angoli col cerchietto sono uguali

2) l'angolo AQH è dato dalla somma del cerchietto e del puntino (angolo esterno)

3) anche l'angolo QAB è la somma di cerchietto e puntino

4) quindi il triangolo ABQ è isoscele (angoli alla base uguali)