Dimostrazione formula logaritmi - liceo scientifico

Per cambiare base devi dividere il logaritmo nella nuova base, per il logaritmo in nuova base della vecchia base

mettiamo il secondo logaritmo che è in base 4, nella nuova  base 2;

te lo scrivo in italiano:

[log in base4] di (x - 1) = [log in base 2] di (x - 1) / [log in base 2] di (4)];

login base 2 di (4) = 2;   perché 2^2 = 4;

quindi diventa:

[log in base4] di (x - 1) = [log in base 2 di (x - 1)] / 2;

 

adesso i logaritmi sono in base 2.

log(2x + 6) - [log(x - 1) ]/ 2 = 3;

2 * log(2x + 6) - log(x - 1) = 3 * 2;

log(2x + 6)^2 - log(x - 1) = 6;

log in base 2 [(2x + 6)^2 / (x - 1)] = 6;

(2x + 6)^2 / (x - 1) = 2^6;   x diverso da 1

4x^2 + 36 + 24 x = 64 (x - 1);

4x^2 + 36 + 24 x - 64x + 64 = 0;

4x^2 - 40 x + 100 = 0;

x^2 - 10x + 25 = 0;

(x - 5)^2 = 0;

x = + 5,

x = 5.

@ve123   ciao. Spero di non aver sbagliato.

Verifica:

login base 2 di(10 + 6) - log in base 4 di (5 - 1) = 3 ?

log in base 2 di 16 = 4;  perché 2^4 = 16;

log in base 4 di 4 = 1;   perché 4^1 = 4;

4 - 1 = 3;

non ho sbagliato.

Ciao.

 

 

@mg

Avevo capito che eri come si dice "nelle nuvole"... Tutto bene. Cerco sempre di imparare qualcosa di nuovo e spesso leggendo le tue risposte prendo spunti interessanti. Buona serata.

 

La seconda formula è diretta conseguenza della prima 

Log(a, a^y) = y

log_a^y (b) = log_c (b)/log_c a^y = log_c (b)/(y log_c (a)) = 1/y * log_a (b)/log_a (a) =

= 1/y log_a (b) come nel testo

Per l'esercizio procedo in modo svelto

log_2 (2x+6) - log_2(x-1)/log_2 4 = 3

2x + 6 > 0 e x - 1 > 0 => x > 1

2 log_2 (2x + 6) - log_2 (x - 1) = 6

log_2 (2x+6)^2/(x-1) = log_2 2^6

4(x+3)^2 = 64(x-1)

x^2 + 6x + 9 = 16x - 16

x^2 - 10x + 25 = 0

(x - 5)^2 = 0

x = 5

accettabile perché maggiore di 1

 

Spero che sia in grado di vedere da sola dove hai sbagliato