dimostrazione esercizio mitico ALONSO Finn 1

@BobOclat 

Ciao di nuovo.

COT(1/2·α) = (1 + COS(α))/SIN(α)

ti devi ricordare:

COT(1/2·α) = COS(α/2)/SIN(α/2)

COS(α/2) = √((1 + COS(α))/2)

SIN(α/2) = √((1 - COS(α))/2)

Quindi:

√((1 + COS(α))/2)/√((1 - COS(α))/2) = √(COS(α) + 1)/√(1 - COS(α)) quindi

√(COS(α) + 1)/√(1 - COS(α)) =

=√(COS(α) + 1)/√(1 - COS(α))·(√(COS(α) + 1)/√(COS(α) + 1)) 

da cui:

COT(1/2·α) = (1 + COS(α))/SIN(α)

Questo passaggio, e migliaia d'altri simili, si spiega e si sviluppa avendo sempre sottomano (possibilmente in una versione redatta secondo le PROPRIE associazioni mentali, non quelle dell'autore), e abituandosi a consultarle, tre diverse tavole goniometriche: Archi Notevoli, Archi Associati, Identità Notevoli.
Nella terza di queste, nel paragrafo "Formule di bisezione" trovi l'identità
* tg(x/2) = ± √((1 - cos(x))/(1 + cos(x)))
di cui ti serve l'inversa
* cotg(x/2) = ± √((1 + cos(x))/(1 - cos(x)))
che, sostituita al primo membro della tua, elimina l'arco metà
* cotg(x/2) = ± √((1 + cos(x))/(1 - cos(x))) = (1 + cos(x))/sin(x)
questa con
* c = cos(x)
* s = sin(x)
* c^2 + s^2 = 1
si riduce al sistema algebrico
* ((± √((1 + c)/(1 - c)))^2 = ((1 + c)/s)^2) & (c^2 + s^2 = 1) ≡
≡ ((1 + c)/(1 - c) = ((1 + c)/s)^2 = 0) & (c^2 + s^2 = 1) ≡
≡ ((c + 1)*(c^2 + s^2 - 1)/((1 - c)*s^2) = 0) & (c^2 + s^2 = 1) ≡
≡ ((c + 1)*(1 - 1)/((1 - c)*s^2) = 0) & (c^2 + s^2 = 1) ≡
≡ (0 = 0) & (c^2 + s^2 = 1) ≡
≡ la tua identità è dimostrata.
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NB: se non si deve mostrare il ragionamento basta scrivere molto meno.