Dato un triangolo ABC con il lato AB>AC e la mediana AM relativa al lato BC, dimostra che l’angolo AMB è maggiore dell’angolo AMC.
Come posso dimostrare questo teorema? (Primo superiore)
Dato un triangolo ABC con il lato AB>AC e la mediana AM relativa al lato BC, dimostra che l’angolo AMB è maggiore dell’angolo AMC.
Come posso dimostrare questo teorema? (Primo superiore)
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Livello 1
RIPASSO
Una terna ordinata di numeri {a, b, c} rappresenta le misure dei lati di un triangolo se e solo se
* 0 < a <= b <= c < a + b
il triangolo ha i vertici {A, B, C} opposti ai lati omonimi con angoli interni {α, β, γ}.
Quadrando membro a membro l'ultima relazione si ha
* c^2 < a^2 + b^2 + 2*a*b
e, secondo i rapporti fra le tre lunghezze, si danno tre possibilità
1) c^2 < a^2 + b^2: il triangolo ABC è acutangolo
2) c^2 = a^2 + b^2: il triangolo ABC è rettangolo
3) c^2 > a^2 + b^2: il triangolo ABC è ottusangolo
Queste cose dovresti averle apprese negli ultimi due anni delle elementari.
Il caso due si chiama Teorema di Pitagora e anche questo dovresti già averlo appreso.
Invece non hai ancora appreso l'esistenza di un Teorema di Carnot che, per i casi uno e tre, quantifica la differenza in funzione dell'angolo γ.
Ai fini di quest'esercizio basta sapere che la differenza esiste e in che verso è.
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ESERCIZIO
I due triangoli ABM e ACM hanno il lato AM comune e i lati BM e CM congruenti per costruzione (così ne unifico i nomi in UM): chiamo "s (come somma)" la somma dei quadrati delle loro lunghezze
* s = |AM|^2 + |UM|^2
Nel caso si abbia anche
* s = |AC|^2
si tratterebbe di un caso due: angolo in M retto, AM altezza oltre che mediana, ABC isoscele.
Se invece le misure di AB e AC sono diverse anche i loro quadrati verificano la stessa diseguaglianza
* |AB| > |AC| → |AB|^2 > |AC|^2
cioè
* |AC|^2 < s < |AB|^2
cioè ancora
* (ACM è acutangolo) & (ABM è ottusangolo)
QED
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Genius I
@exprof l'unica cosa a non essermi chiara in questo ragionamento, è come fai ad arrivare a questa conclusione * |AB| > |AC| → |AB|^2 > |AC|^2 cioè * |AC|^2 < s < |AB|^2
L'unica cosa di cui siamo certi perchè lo dice la traccia è che AC<AB e quindi AC²<AB², non ho capito perchè da ciò segue subito che s è compreso tra AC² e AB².
@apprentus
Non è che segua subito: segue alla luce del periodo precedente che dovresti aver letto prima di questo.
Nel caso |AC|^2 = s = |AB|^2 si avrebbe ABC isoscele, contro il dato; ma s non può essere simultaneamente maggiore o minore su entrambi i lati altrimenti i triangoli ABM e ACM sarebbero in M simultaneamente acutangoli o ottusangoli e ciò sarebbe contro la costruzione che vuole gli angoli in M supplementari; e, dovendo s essere maggiore da un lato e minore dall'altro, è giuocoforza che sia compreso.
@exprof ok ho capito, ma come si potrebbe dimostrare che dato un triangolo ABC, se l'angolo ACB è acuto, allora AB^2<AC^2+BC^2, mentre se ACB è ottuso, AB^2>AC^2+BC^2? Te lo chiedo perchè questo risultato non è spiegato nei libri di testo di matematica, a riguardo delle disuguaglianza tra gli elementi di triangoli. So che è vero questo risultato che dici, ma non ci sarebbe una dimostrazione semplice che si potrebbe fare?
@apprentus
Sì che c'è: io te la suggerisco, ma te la sviluppi da te.
PRIMO DISEGNO
Disegna, sul diametro AB, una semicirconferenza Γ di centro O; su Γ un punto C e la semiretta OC tali che OC non sia ortogonale ad AB; sulla semiretta OC un punto C' interno al semicerchio e un punto C'' all'esterno.
Poi ragiona CON CALMA sui triangoli ABC, ABC', ABC''.
SECONDO DISEGNO
Disegna, sul diametro AB, una circonferenza Γ di centro O; su Γ un punto C e la semiretta OC tali che OC non sia ortogonale ad AB. Traccia due parallele al diametro AB, una in ciascun semicerchio rispetto ad esso. Nomina A' e B' le intersezioni di Γ su una parallela, A'' e B'' quelle sull'altra.
Poi ragiona CON CALMA sui triangoli ABC, A'B'C, A''B''C.
Ah, con ciò chiudo questa discussione.
Inizia a considerare un triangolo isoscele sulla base BC e deformalo col pensiero tirando via il vertice B. In orario scolastico non si può andare oltre il suggerimento.
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Genius I
@exprof allora ripropongo la domanda oggi pomeriggio che non è orario scolastico
@apprentus
Non occorre riproporla: sta qui in bacheca, visibile a chiunque voglia rispondere.
ho provato a farlo ma secondo me manca qualcosa
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Livello 3
@boboclat non manca nulla