Dimostrazione

Problema:

Dimostra quanto segue. 

Sia $f: S \to T$ un'applicazione. Allora:

i. $f$ suriettiva $\iff$ $f^{-1}(\{y\}) \neq \emptyset, \ \ \forall y \in T$.

ii. $f$ iniettiva $\iff$ $|f^{-1}(\{y\})|≤1, \ \ \forall y \in T$.

Soluzione:

i. $f$ è una funzione suriettiva se ad ogni elemento del codominio corrisponde almeno un elemento del dominio per definizione. Vale quindi l'implicazione verso destra. 

Viceversa se $f^{-1}(\{y\}) \neq \emptyset$ per ogni $y \in T$, si ha che $f$ è suriettiva dato che ad ogni singolo elemento del codominio corrisponde almeno un elemento del dominio. 

ii. Per definizione $f$ è iniettiva se ad ogni elemento del codominio corrisponde uno ed un solo elemento del dominio, vale quindi l'implicazione verso destra. 

Viceversa, ammettendo che la cardinalità sia un numero intero positivo, se $|f^{-1}(\{y\})|≤1$, allora l'insieme descritto ha cardinalità pari a $0$ o $1$. Se la cardinalità è pari a $0$ significato che l'elemento $y$ del codominio è scoperto, ciò non va in conflitto con la definizione di iniettività; se invece la cardinalità è pari ad $1$ si ottiene la definizione di iniettività. 

Lascio a te la formalizzazione, bastano solo le definizioni.