Esercizio

Problema:

È vero, in generale, che $|f^{-1}(\{y\})|=1$ per ogni $y \in T$ implica che $f$ è biunivoca? 

Soluzione:

Suppongo che l'applicazione sia del tipo $f: A \to T$ e che con $|...|$ si indichi la cardinalità di un dato insieme.

L'espressione $f^{-1}(\{y\})$ indica tutti gli elementi in $A$ che vengono mandati in $y$ tramite $f$, il fatto che la cardinalità di tale insieme sia pari a uno significa che la $f$ è iniettiva, infatti una applicazione è iniettiva se ad ogni elemento del dominio corrisponde uno e un solo elemento del codominio. Il quantitificatore per ogni lascia presuppore che l'applicazione copra tutto l'insieme di arrivo, ciò significa che questa è anche suriettiva dato che una applicazione è suriettiva se ad ogni elemento del codominio corrisponde almeno un elemento del dominio. 

Poiché la biunivocità è definita dalla concomitanza delle proprietà di iniettività e biunivocità, l'applicazione risulta essere biunivoca. Ciò prova la proporzione data.