Esercizio iniettiva/suriettiva

• f(x) non è suriettiva. 0∈ℤ ma non è immagine, tramite f(x) di alcun elemento x∈ℕ
• f(x) è iniettiva. 
  • • Se $x \in ℕ_p$. Per assurdo. Supponiamo due distinti valori pari $ x_1, x_2 | x_1 \ne x_2 $ che hanno la stessa immagine, $ f(x_1) = f(x_2)$. In tal caso

$ f(x_1) = f(x_2)$

$ x_1 + 1 = x_2 + 1$

$ x_1 = x_2 $ Assurdo per ipotesi erano stati scelti distinti.

• • • Se $x \in ℕ_d$. Del tutto analogo al caso precedente.

Rimane il caso di una copia di valori distinti ma con uno pari e uno dispari. Wlog

• • • $x_1 \in ℕ_p, x_2 \in ℕ_d$. Sono ovviamente distinti. Supponiamo che abbiano la stessa immagine

$ f(x_1) = f(x_2) $

$ x_1 + 1 = x_2 + 3$

$ x_1 = x_2 + 2$    Scriviamo x₁ come numero pari e x₂ come numero dispari, cioè

$ x_1 = 2\cdot n; n\in ℕ$

$ x_2 = 2\cdot m + 1; m\in ℕ$

in tal casi si avrà

$ 2\cdot n = 2\cdot m + 1 + 2 = 2\cdot(m+1) + 1 $ e questo è assurdo

A sinistra si ha un numero pari mentre a destra un numero dispari. Sappiamo che le due classi pari e dispari sono mutualmente esclusive.

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• g(x) non è surgettiva. Lo zero è un elemento di ℕ ma non è immagine di alcun numero secondo g(x).
• g(x) non è iniettiva
  • • g(2) = 4
    • g(3) = 4

Stessa immagine ma elementi distinti.