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Dimostrare che ogni insieme di generatori di R^2 ha almeno 2 vettori

  

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Ragazzi stavo provando un esercizio (molto facile premetto) ma non sono sicurissimo di aver preso bene l'idea ne tantomeno di averla formalizzata bene : si chiede di dimostrare che ogni insieme di generatori di R^2 ha almeno 2 vettori.

Io ho pensato per assurdo e si nota facilmente che se la lista di vettori è vuota allora 0 è l'unica combinazione lineare ma obv R^2 non contiene solo (0,0); se invece scelgo {v} come insieme di generatori allora se le componenti di v sono diverse non sarà mai possibile ottenere vettori con componenti uguali e idem se le componenti sono uguali non sarà mai possibile ottenere vettori con componenti diverse. Può starci? ( i don't know..)

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Per assurdo : In R^2 

v = (a,b) = a (1, 0) + b( 0, 1 )

Ora se togli un elemento da { (1,0), (0,1) }

non puoi più generare tutto R^2 ma solo vettori che hanno una componente nulla.

 

 



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Io invece direi che "ha esattamente due vettori".
Tre o più vettori a due sole componenti formano una matrice che ha rango minore di tre; quindi non possono essere linearmente indipendenti tutti, ma al massimo due di essi: gli altri sono generati, non generatori.
Dall'altro estremo con un solo vettore a due componenti (se quel rango è minore di due) si possono generare solo i suoi multipli che, per definizione, hanno tutti la medesima direzione e pertanto costituiscono uno spazio monodimensionale, non bidimensionale come richiesto.



Risposta
SOS Matematica

4.6
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