circonferenze e triangolo equilatero

@lorenzo_licinio_carino

x² + y² - 2x - 2y - 8 = 0

(x - 1)² + (y - 1)² = 10

La circonferenza ha:

Centro O=(1, 1) e R=rad(10)

Sappiamo che il triangolo equilatero circoscritto ha:

Lato= 2*R*radice (3) = 2*radice (30)

Altezza= 3R = 3*radice (10)

L'equazione del lato tangente la circonferenza e passante per il punto A si determina utilizzando le formule di sdoppiamento:

A(x0, y0) =(-2,0)

x² —> xx0

y² —> yy0

x —> (x+x0) /2

y —> (y+y0) /2

Da cui si ricava l'equazione della retta r:

r: - 2x - x + 2 - y - 8 = 0

r: y = - 3x - 6

In un triangolo equilatero le altezze, sono anche mediane, bisettrici ed assi. 

Il punto A risulta essere il punto medio del segmento avente per estremi i due vertici del triangolo equilatero appartenenti alla retta r.

Determino quindi il generico punto P della retta r, avente distanza da A pari alla metà del lato del triangolo equilatero.

Le coordinate del generico punto P appartenente ad r sono:

P=(x,  - 3x - 6)

Impongo che PA= L/2 = RADICE (30)

Quindi:

(x+2)² + (3x+6)² = 30

x² + 4x + 1 = 0

Da cui si ricava;

x1= - 2 - radice (3)

x2= - 2 + radice (3)

Possiamo calcolare le ordinate sostituendo i valori delle ascisse trovate nell'ordinata del punto P.

Il terzo vertice del triangolo equilatero si trova sulla retta s, perpendicolare ad r, e passante per A( - 2,0).

La distanza del terzo vertice da A è pari a 3R, altezza del triangolo equilatero circoscritto, con R= radice (10)

L'equazione della retta s perpendicolare ad r e passante per A è:

s: y= (1/3)*x + 2/3

Il generico punto P appartenente ad s ha coordinate 

P=(x, (1/3)*x + 2/3)

Impongo che la distanza PA = 3*radice (10) con xP>0

Si ottiene:

(x+2)² + [(1/3)*x + 2/3]² = 90

x² + 4x - 77 = 0

Da cui si ricava:

x1= - 11 non accettabile (xP>0)

x2=7

Sostituendo tale valore nell'ordinata di P si ricava y2=3

Quindi il terzo vertice del triangolo equilatero è 

V=(7, 3)

Ciao di nuovo.

Fai riferimento alla figura allegata.

Procedimento: 

a) determina  gli altri due punti B e C mediante intersezione della circonferenza data con la circonferenza di centro A(-2,0) e raggio √3·r ove r è il raggio di quella data;

b) determina con le formule di sdoppiamento le tre rette tangenti in A, B e C alla circonferenza data

c) metti a sistema a due a due le tre rette trovate ed ottieni i punti richiesti.

Procediamo quindi come detto sopra..

x^2 + y^2 - 2·x - 2·y - 8 = 0

ha centro in [1, 1] e raggio pari a: r = √(1^2 + 1^2 + 8)-----> r = √10

Poi determiniamo gli altri due punti sulla circonferenza, sapendo che il lato del triangolo ad esso inscritto vale: √3·r quindi  √3·√10=√30

Quindi consideriamo la circonferenza con centro in A(-2,0) e raggio pari a quanto detto:

(x + 2)^2 + y^2 = 30

Che mettiamo a sistema con la circonferenza data:

{ (x + 2)^2 + y^2 = 30

{x^2 + y^2 - 2·x - 2·y - 8 = 0

Risolviamo il sistema ed otteniamo:

[x = √3/2 + 5/2 ∧ y = 3/2 - 3·√3/2, x = 5/2 - √3/2 ∧ y = 3·√3/2 + 3/2]

Quindi i due punti:

[(√3 + 5)/2, - 3·(√3 - 1)/2]

[- (√3 - 5)/2, 3·(√3 + 1)/2]

Adesso determiniamo le rette tangenti alla circonferenza data nei tre punti ottenuti:

- 2·x + 0·y - 2·(x - 2)/2 - 2·(y + 0)/2 - 8 = 0

- 3·x - y - 6 = 0

(√3 + 5)/2·x - 3·(√3 - 1)/2·y - 2·(x + (√3 + 5)/2)/2 - 2·(y - 3·(√3 - 1)/2)/2 - 8 = 0

x·(√3 + 3) + y·(1 - 3·√3) + 2·√3 - 24 = 0

- (√3 - 5)/2·x + 3·(√3 + 1)/2·y - 2·(x - (√3 - 5)/2)/2 - 2·(y + 3·(√3 + 1)/2)/2 - 8 = 0

x·(3 - √3) + y·(3·√3 + 1) - 2·√3 - 24 = 0

I vertici del triangolo equilatero circoscritto alla circonferenza data sono:

[x = √3 - 2 ∧ y = - 3·√3]

[x = - √3 - 2 ∧ y = 3·√3]

[x = 7 ∧ y = 3]

Ottenuti, come detto dalla soluzione di tre sistemi considerando a due a due le tre equazioni in grassetto.

Nel triangolo equilatero di lato L l'inraggio è
* r = (√3/6)*L ≡ L = (2*√3)*r
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Dall'equazione dell'incerchio
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 2*x - 2*y - 8 = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 10
di centro C(1, 1) e raggio r = √10, si ricava il lato
* L = 2*√30
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La retta tangente Γ in T(- 2, 0) è la polare di T
* p(A) ≡ - 2*x + 0*y - 2*(x - 2)/2 - 2*(y + 0)/2 - 8 = 0 ≡
≡ y = - 3*(x + 2)
ed è intersecata nei vertici A e B dalla circonferenza
* (x + 2)^2 + y^2 = 30
centrata in T(- 2, 0) e di raggio L/2 = √30; cioè
* (y = - 3*(x + 2)) & ((x + 2)^2 + y^2 = 30) ≡
≡ A(- 2 - √3, 3*√3) oppure B(- 2 + √3, - 3*√3)
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Il vertice C è l'intersezione delle rette tangenti Γ condotte da A e B.
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Le rette tangenti Γ condotte dai punti A o B sono le rette polari dei punti di tangenza T' e T'' che sono le intersezioni di Γ con γ
* Γ & γ ≡ ((x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 10) & ((x + 2)^2 + y^2 = 30) ≡
≡ T'((5 - √3)/2, (3/2)*(1 + √3)) oppure T''((5 + √3)/2, (3/2)*(1 - √3))
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* p(T') ≡ ((5 - √3)/2)*x + ((3/2)*(1 + √3))*y - 2*(x + (5 - √3)/2)/2 - 2*(y + (3/2)*(1 + √3))/2 - 8 = 0 ≡
≡ (√3 - 3)*x - (3*√3 + 1)*y + 2*√3 + 24 = 0
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* p(T'') ≡ ((5 + √3)/2)*x + ((3/2)*(1 - √3))*y - 2*(x + (5 + √3)/2)/2 - 2*(y + (3/2)*(1 - √3))/2 - 8 = 0 ≡
≡ (√3 + 3)*x - (3*√3 - 1)*y + 2*√3 - 24 = 0
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* p(T') & p(T'') ≡ ((√3 - 3)*x - (3*√3 + 1)*y + 2*√3 + 24 = 0) & ((√3 + 3)*x - (3*√3 - 1)*y + 2*√3 - 24 = 0) ≡
≡ C(7, 3)
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VERIFICA nei paragrafi "Result: circle, center", "Visual representation", "Properties of incircle: diameter", al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%28-2-%E2%88%9A3%2C3*%E2%88%9A3%29%2C%28-2%2B%E2%88%9A3%2C-3*%E2%88%9A3%29%2C%287%2C3%29incircle