Sono assegnati i tre punti $A(0 ; 4), B(-1 ; 0), C(0 ;-2)$ a. Scrivi l'equazione della circonferenza che passa per i tre punti. b. Tra le rette del fascio di centro $C$, determina le due rette che intersecano ulteriormente la circoniverenza nei punti $E$ e $D\left(\right.$ con $\left.y_D<0\right)$ in modo che le corde $C D$ e $C E$ siano due lati del quadrato inseritto. $$ \left[\text { retta } C E: y=13 x-2, E\left(\frac{1}{2}: \frac{9}{2}\right) ; \text { retta } C D: y=-\frac{1}{13} x-2, D\left(\frac{13}{2}:-\frac{5}{2}\right)\right] $$ c. Determina l'area del quadrilatero $A C D E$.
Una volta trovata l'equazione della circonferenza passante per i tre punti A, B, C una possibile soluzione del problema consiste nel ricordare che la diagonale del quadrato inscritto, di cui vogliamo determinare i vertici, è il diametro della circonferenza circoscritta.
Inoltre le diagonali di un quadrato sono tra loro perpendicolari.
Essendo C un vertice, il vertice opposto del quadrilatero è sulla retta passante per C e per il centro 0 della circonferenza.
L'altra diagonale, che risulta essere perpendicolare alla prima, passa per il centro O della circonferenza.
Circonferenza che si determina imponendo la condizione di appartenenza dei tre punti alla conica.
{1 - a + c =0
{4 - 2b + c = 0
{16 + 4b + c = 0
Sottraendo la seconda alla terza, si ottiene: b= - 2
Moltiplicando la seconda per 2 e sommandola alla terza si ottiene : c= - 8
Dalla prima si ottiene: a= - 7
Il sistema fornisce l'equazione:
x² + y² - 7x - 2y - 8 = 0
(x - 7/2)² + (y - 1)² = 85/4
Quindi: O=( 7/2 ; - 1) , R= rad(85)/2
Possiamo determinare l'equazione delle due diagonali del quadrato.
La prima, quella contenente il vertice C e passante per O, ha equazione:
d1: y= (6/7)*x - 2
La seconda diagonale è la retta perpendicolare a d1 e passante per O. Quindi:
d2: y= ( - 7/6)*x + 61/12
L'intersezione di d2 con la circonferenza fornisce le coordinate dei vertici del quadrato adiacenti al vertice C. Utilizzando la formula della retta per due punti, determino le equazioni delle rette cercate.
Mettendo a sistema d2 con l'equazione della circonferenza
{x² + y² - 7x - 2y - 8 = 0
{y = ( - 7/6)*x + 61/12
determino le ascisse dei punti D, E.
Sviluppando i calcoli, si ricava:
xD= 13/2
xE= 1/2
Sostituendo tali valori nell'equazione della retta d2 si ottengono le rispettive ordinate.
yD= - 5/2
yE= 9/2
Quindi:
D= (13/2, - 5/2)
E= (1/2, 9/2)
La retta passante per C, D fornisce la prima equazione cercata.
y + 2 = [( - 5/2 + 2)/(13/2)] * x
y = ( - 1/13)*x - 2
La retta passante per C, E fornisce la seconda equazione
y + 2 = [(9/2 + 2)/(1/2)] * x
y = 13x - 2
Puoi quindi calcolare l'area del quadrilatero ACDE sapendo le coordinate dei quattro vertici, utilizzando la formula di Gauss.
Il circumcerchio del triangolo ABC ha per centro K l'unico punto del piano equidistante dai vertici e per raggio R tale comune distanza. Con i vertici * A(0, 4), B(- 1, 0), C(0, - 2) il calcolo si semplifica per alcune particolarità dei dati. Il lato AC, che giace sull'asse y, ha per asse la retta y = 1. Nel fascio di circonferenze centrato in K(k, 1) e di raggio * R = |KA| = |KC| = √(k^2 + 9) cioè * Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - 1)^2 = k^2 + 9 quella cui appartiene B si trova dalla condizione * (- 1 - k)^2 + (0 - 1)^2 = k^2 + 9 ≡ k = 7/2 ed è * Γ(7/2) ≡ (x - 7/2)^2 + (y - 1)^2 = (7/2)^2 + 9 = 85/4 ≡ ≡ x^2 + y^2 - 7*x - 2*y - 8 = 0 con K(7/2, 1) ed R = √85/2 ------------------------------ Il quadrato inscritto in Γ(7/2) (nel seguito solo Γ) con un vertice in C si trova intersecando Γ prima con la congiungente * CK ≡ y = (6/7)*x - 2 di pendenza m = 6/7, e poi con la sua normale di pendenza m' = - 7/6 per K * y = 61/12 - (7/6)*x ≡ 14*x + 12*y = 61 Ai fini dell'esercizio interessano solo queste ultime intersezioni. * (14*x + 12*y = 61) & ((x - 7/2)^2 + (y - 1)^2 = 85/4) ≡ ≡ D(13/2, - 5/2) oppure E(1/2, 9/2) da cui le rette richieste * CD ≡ y = - x/13 - 2 * CE ≡ y = 13*x - 2 che, come dovuto, hanno pendenze antinverse. ------------------------------ L'area S del quadrilatero di vertici * A(0, 4), C(0, - 2), D(13/2, - 5/2), E(1/2, 9/2) si può calcolare con almeno tre decomposizioni (in due triangoli generici con una diagonale in comune; un trapezio rettangolo più i due triangolini in fondo e in cima), ma non ne vale la pena: la via più spicciativa è la formula di Gauss (a lacci di scarpe) che dà * S = 91/4 http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_dell%27area_di_Gauss
