[Risolto] Dimostrare che la funzione possiede punti di flesso senza calcolare la derivata seconda

La derivata prima mi sembra corretta.
Forse potresti provare in maniera un po' "empirica": se trovi una X_0 in cui la derivata assume un certo valore; poi trovi una X_1 con X_1>X_0 in cui la derivata prima assume un valore maggiore; poi trovi un altro valore X_2 con X_2>X_1 in cui la derivata prima assume un valore minore... Sei riuscito a mostrare che la derivata prima è "prima crescente", "poi decrescente", quindi da qualche parte tra X_0 e X_2 c'è per forza un flesso.

Non ho il tempo adesso di guardare per bene e potrei sbagliarmi, ma mi sembra che il limite della derivata prima con X che tende a 0 da destra, sia 0. E diciamo che X_0=0,0001
Poi potresti prendere come X_1=1
Poi prendere X_2=100
E vedere un po' cosa succede...

Credo esista una strada migliore di questa, ma adesso non mi è venuto in mente niente di meglio e ho pensato di provare a scrivertelo, magari l'idea giusta viene a te 😉

Sì, mi torna tutto quello che dici...
In un primo momento avevo sperato che tra -1 e 0 la funzione cambiasse segno e con x che tende a -1 la funzione tendesse a meno infinito e con x che tende a 0 tendesse a più infinito (così avevi garantita l'esistenza del flesso all'interno di quell'intervallo dato che ci sarebbe stato di sicuro un cambio di concavità).

Rolle mi sembra non serva a molto, perché il flesso non è detto sia a tangente orizzontale e in questo caso direi proprio che non lo è...

La cosa a cui avevo pensato era di studiare la crescenza e la decrescenza della derivata prima (che poi coincide con lo studio del segno della derivata seconda), ma non mi è venuto in mente niente di meglio che fare quei tentativi che suggerivo.

In maniera sintetica, la cosa che vedo al volo è che per X sufficientemente grandi il fattore "e alla -1 fratto x(x+1)" conta poco perché tende ad 1 e anche l'altro fattore (la frazione algebrica) tende ad 1, dato che abbiamo grado 3 sia al num, che al den.
Quindi se riusciamo a trarre qualche altra informazione "a occhio" tra 0 e più infinito che ci indichi un cambio di crescenza/decrescenza, il gioco è fatto... Ad esempio sarebbe stato utile se ci fosse stato qualche segno "-" per poter dire che in qualche punto la derivata era negativa, ma così non è: tra 0 e più infinito è sempre positiva.

Ma forse ragionando sulle radici del polinomio di grado 3 al numeratore, si può ugualmente trarre qualche conclusione.

Mi spiace non potermici dedicare in maniera più "continuativa", ma ho mia figlia che richiede le mie attenzioni 🙂
Comunque seguo il post e se mi viene qualche altra idea, provo a scriverla.

Ok su Rolle, hai ragione, avevo frainteso io...

Ci ho ripensato un pochino stamani, ma non riesco a sganciarmi dalla prima idea che mi era venuta 🙁
Comunque, se:
1)limite della derivata prima con x che tende a 0 da destra è 0
2)limite della derivata prima con x che tende a + infinito è 1.
3)Mi basta prendere ad esempio x=1/2: se non mi sbaglio, in quel punto la derivata prima vale più di 1.

Abbiamo finito, di sicuro là nel mezzo c'è un flesso 😉

Sarei curioso di vedere altre risposte (magari c'è un'idea "ganza" che non ci sta venendo), comunque se non viene fuori niente di meglio, nei prossimi giorni, appena trovo un attimo, provo a vedere se mi viene qualche altra idea.

Buona Domenica.

Facendo il limite della derivata eh...
Se con x che va a 0 la derivata tende a 0 e con x che tende a + infinito la derivata tende ad 1 e se in x=1/2 la derivata vale più di 1 abbiamo che:
1)tra 0 a 1/2 la derivata ammette di sicuro un intervallo di crescenza.
2)tra 1/2 a + infinito, la derivata ammette di sicuro un intervallo di decrescenza. 

Un flesso è un punto in cui la funzione cambia concavità.
Se ripensi bene alla teoria, la concavità è rivolta verso l'alto quando la derivata prima è crescente, mentre è rivolta verso il basso quando la derivata prima è decrescente.

Dato che questa derivata prima è continua da 0 a + infinito, le condizioni 1) e 2) sopra, garantiscono l'esistenza di un flesso.