Trigonometria

Quindi tu vuoi sapere come ottenere l’altra soluzione:

Puoi fare riferimento a due cose:

Teorema di Erone: S = √(p·(p - a)·(p - b)·(p - c))

Alla relazione che fornisce il raggio r della circonferenza circoscritta al triangolo:

r = a·b·c/(4·S)

Quindi chiamiamo con x il lato c incognito (c=x)

p = (5 + 3 + x)/2 = (x + 8)/2

Gli altri tre fattori sono:

(x + 8)/2 - 5 = (x - 2)/2

(x + 8)/2 - 3 = (x + 2)/2

(x + 8)/2 - x = (8 - x)/2

Quindi:

6 = √((x + 8)/2·((x - 2)/2)·((x + 2)/2)·((8 - x)/2))

36 = (x + 2)·(2 - x)·(x + 8)·(x - 8)/16

(x + 2)·(2 - x)·(x + 8)·(x - 8) = 576

- x^4 + 68·x^2 - 256 = 576

- x^4 + 68·x^2 - 832 = 0

x^4 - 68·x^2 + 832 = 0

Equazione trinomia

x^2 = t

t^2 - 68·t + 832 = 0

Risolvi ed ottieni:

t = 52 ∨ t = 16

x^2 = 52-----> x = - 2·√13 ∨ x = 2·√13

x^2 = 16-----> x = -4 ∨ x = 4

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r = a·b·c/(4·s)

r=5·3·(2·√13)/(4·6) = 5·√13/4

r=5·3·4/(4·6) = 5/2

L'area S del triangolo è metà del modulo del prodotto vettoriale di due lati uscenti dallo stesso vertice.
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Il testo dice che l'area è sei e che AC e BC escono entrambi dal vertice C, quindi
* S = |AC × BC|/2 = |AC|*|BC|*sin(θ)/2 = (5*3/2)*sin(θ) = 6
cioè
* (sin(θ) = 4/5) & (0 < θ < π) ≡
≡ (θ = arcsin(4/5)) oppure (θ = π - arcsin(4/5))
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La prima soluzione è a colpo d'occhio: nel triangolo (3, 4, 5) il circumraggio R = 5/2 è metà ipotenusa.
Per la seconda qualche passaggio è inevitabile.
Anzitutto: cos(π - arcsin(4/5)) = - 3/5.
Poi, con a = |BC| = 3, b = |AC| = 5, c = |AB|, S = 6
si ha
* c = √(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(θ)) =
= √(3^2 + 5^2 - 2*3*5*(- 3/5)) = √52 = 2*√13
* R = a*b*c/(4*S) = (5/8)*c = (5/8)*2*√13 = (5/4)*√13