[Risolto] Determinazione di un equazione di una retta

Ciao.

Domanda a

Per prima cosa calcoliamo il coefficiente angolare della retta per $B$ e $C$:

$m=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=4/(-8)=-1/2$

La retta per B e C ha pertanto equazione

$y=-\frac{1}{2}x+q$

imponiamo il passaggio per $C$ in modo da trovare $q$

$2=-0.5*(-1)+q$ --> $q=3/2$

La retta per $B$ e $C$ ha in definitiva equazione:

$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$  oppure (ci serve per la domanda a) $x+2y-3=0$

Calcoliamo la distanza del punto $A(1,4)$ dalla retta con la formula:

$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ dove $x_0$ e $y_0$ sono le coordinate di $A$:

$d=\frac{|1+8-3|}{\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}$

Domanda b

il punto medio di $BC$ è $M=(3,0)$

il coefficiente angolare della retta per $A$ e $B$:

$m1=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}=6/(-6)=-1$

Quindi per essere perpendicolare ad $AB$ la rette deve avere coefficiente angolare 

$m_2=-1/m_1=1$

Quindi $y=x+q$

imponiamo il passaggio per $M$:

$0=3+q$ --> $q=-3$

La risposta è pertanto $y=x-3$

Domanda c

L'asse è la retta perpendicolare passante per il punto medio. quindi per essere perpendicolare deve aver coefficiente angolare 2, pertanto

$y=2x+q$

Poi deve passare per $M$ di coordinate (3,0), quindi:

$0=2*3+q$ --> $q=-6$

in definitiva $y=2x-6$

 

 

RIPASSI
------------------------------
La retta congiungente due dati punti A(a, p) e B(b, q) è
* per a = b: AB ≡ x = a
* per p = q: AB ≡ y = p
* per (p = k*a) & (q = k*b): AB ≡ y = k*x
* per a != b: AB ≡ y = ((p - q)/(a - b))*x + (a*q - b*p)/(a - b)
------------------------------
Le perpendicolari a una retta sono un fascio improprio.
* alla x = a sono y = k
* alla y = p sono x = k
* alla y = m*x + q sono y = k - x/m
------------------------------
La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = m*x + q è
* d(u, v, m, q) = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
------------------------------
Tutti e soli i punti P(x, y) equidistanti da due dati punti A(a, p) e B(b, q) giacciono sull'asse del segmento AB
* Per p = q: asse(AB) ≡ x = (a + b)/2
* Per p != q: asse(AB) ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q))
==============================
NEL CASO IN ESAME
* A(1, 4), B(7, - 2), C(- 1, 2)
------------------------------
a. La distanza di A dalla retta BC
* BC ≡ y = (3 - x)/2
* d(1, 4, - 1/2, q) = 6/√5
------------------------------
b. l'equazione della perpendicolare ad AB passante per il punto medio di BC
* M = (B + C)/2 = (3, 0)
* AB ≡ y = 5 - x
Le perpendicolari ad
* AB ≡ y = 5 - x sono y = x + k, e quella per M è
* y = x - 3
------------------------------
c. l'equazione dell'asse di BC
* 2 != - 2: asse(CB) ≡ 2*(x - 3)

Ciao.

Domanda a

Per prima cosa calcoliamo il coefficiente angolare della retta per $B$ e $C$:

$m=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=4/(-8)=-1/2$

La retta per B e C ha pertanto equazione

$y=-\frac{1}{2}x+q$

imponiamo il passaggio per $C$ in modo da trovare $q$

$2=-0.5*(-1)+q$ --> $q=3/2$

La retta per $B$ e $C$ ha in definitiva equazione:

$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$  oppure (ci serve per la domanda a) $x+2y-3=0$

Calcoliamo la distanza del punto $A(1,4)$ dalla retta con la formula:

$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ dove $x_0$ e $y_0$ sono le coordinate di $A$:

$d=\frac{|1+8-3|}{\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}$

Domanda b

il punto medio di $BC$ è $M=(3,0)$

il coefficiente angolare della retta per $A$ e $B$:

$m1=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}=6/(-6)=-1$

Quindi per essere perpendicolare ad $AB$ la rette deve avere coefficiente angolare 

$m_2=-1/m_1=1$

Quindi $y=x+q$

imponiamo il passaggio per $M$:

$0=3+q$ --> $q=-3$

La risposta è pertanto $y=x-3$