[Risolto] Determinare un parametro di una funzione di un'iperbole

@francesco_negro

Riscrivendo l'equazione della funzione in forma canonica:

[(x-xC)²]/a² - [(Y-YC)²]/b² = 1

ricaviamo le coordinate (xC, yC) del centro. 

[(x-k)²]/a² - [(y+((k+2)/2))²]/b² = 1

Quindi: C=[k, - (k+2)/2]

Imponendo la condizione che il punto C appartenga alla bisettrice del I e III quadrante (retta y=x) , si ricava:

2k = - k-2

Da cui si ricava: k= - 2/3

Dall'equazione data in forma normale canonica
* Γ(k) ≡ x^2 - y^2 - 2*k*x - (k + 2)*y - 1 = 0 ≡
≡ x^2 - 2*k*x - (y^2 + (k + 2)*y) - 1 = 0 ≡
≡ (x - k)^2 - k^2 - ((y + (k + 2)/2)^2 - ((k + 2)/2)^2) - 1 = 0 ≡
≡ (x - k)^2 - (y + (k + 2)/2)^2 - k^2 + ((k + 2)/2)^2 - 1 = 0 ≡
≡ (x - k)^2 - (y + (k + 2)/2)^2 = (3/4)*k^2 + k ≡
≡ (x - k)^2/((3/4)*k^2 + k) - (y + (k + 2)/2)^2/((3/4)*k^2 + k) = 1
si ricava la forma normale standard da cui leggere, fra altre proprietà geometriche, anche le coordinate del centro
* C(k, - (k + 2)/2)
che, per poter essere sulla bisettrice dei quadranti dispari (y = x), deve averle eguali.
Pertanto per ottemperare alla consegna "Determina k in modo che ..." occorre e basta risolvere
* k = - (k + 2)/2 ≡
≡ 2*k = - k - 2 ≡
≡ 3*k = - 2 ≡
≡ k = - 2/3