Assegnato un esagono regolare con lato unitario, centro di simmetria l'origine degli assi cartesiani e due vertici opposti A e D sull'asse y, determinare l'equazione dell'ellisse di fuochi A e D e passante per gli altri quattro vertici dell'esagono.
Assegnato un esagono regolare con lato unitario, centro di simmetria l'origine degli assi cartesiani e due vertici opposti A e D sull'asse y, determinare l'equazione dell'ellisse di fuochi A e D e passante per gli altri quattro vertici dell'esagono.
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Livello 0
Ciao e benvenuta
I fuochi sono disposti sull'asse y in A e D:
[0, -1] e [0, 1]
Il punto corrente sull'ellisse è:[x, y]
Con riferimento alla figura sappiamo che:
ΑΒ = 1 e ΒD = √((√3/2)^2 + (1 + 1/2)^2)----> ΒD = √3 (circa 1.732)
Per convenzione scriviamo:
2·b = 1 + √3----> b = √3/2 + 1/2
da cui: b^2 = √3/2 + 1
L'altro semiasse ellisse a è tale per cui:
a^2 = b^2 - c^2
a^2 = √3/2 + 1 - 1-------> a^2 = √3/2
Quindi abbiamo in definitiva:
x^2/(√3/2) + y^2/(√3/2 + 1) = 1
2·√3·x^2/3 + y^2·(4 - 2·√3) = 1
(1.154700538·x^2 + 0.5358983848·y^2 = 1)
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Genius II
@lucianop grazie della risposta
Ci proviamo.
L'ellisse passa per (90° - 60° = 30°) B = (rad(3)/2, 1/2), c = 1 e b > a.
Pertanto
{ b^2 - a^2 = 1
{ 3/(4a^2) + 1/(4b^2) = 1
b^2 = 1 + a^2
3/(4a^2) + 1/(4a^2 + 4) = 1
3/a^2 + 1/(a^2 + 1) = 4
3a^2 + 3 + a^2 = 4a^4 + 4a^2
4a^4 = 3
a^4 = 3/4
a^2 = rad(3)/2
b^2 = 1 + rad(3)/2 = (2 + rad 3)/2
2 x^2/rad 3 + 2 y^2/(2 + rad 3) = 1
https://www.desmos.com/calculator/smt1wtlgbr
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Livello 6
@eidosm grazie della risposta.
Avrei però una domanda come ci si arriva all'uguaglianza 3/4a^2+1/(4a^2+4)=1?
Imponendo il passaggio dell'ellisse per il punto (rad(3)/2, 1/2) che si trova a 90-60 =30 gradi dall'asse x