Determinare dominio e zeri di una funzione esponenziale

Ciao!

Dominio: In generale, il dominio di un'esponenziale è $\mathbb{R}$, ma in questo caso abbiamo una funzione fratta, quindi dobbiamo imporre che il denominatore sia diverso da zero:

$1-4^x \neq 0 $
$4^x \neq 1$
Ricordiamo che possiamo scrivere $1= a^0$ per qualsiasi valore di $a >0$, da cui:

$4^x \neq 4^0$ 
$x \neq 0$

Quindi il dominio è $Dom(f) = \mathbb{R} - \{0\}$, oppure, scrivendolo come intervallo $(-\infty; 0) \cup (0,+\infty)$.

Gli zeri:

Quando vogliamo determinare gli zeri di una funzione generica $f(x)$ dobbiamo studiare l'equazione $f(x)=0$.

In questo caso, quindi

$\frac{3^x-6}{1-4^x} = 0$
Una volta imposte le condizioni di esistenza (cioè il dominio), possiamo liberarci del denominatore, quindi

$3^x -6 = 0$
$3^x = 6$
$6$ non può essere scritto come potenza di $3$, quindi per risolvere questa equazione esponenziale è necessario utilizzare i logaritmi. Ricordiamo che vale: $\log_a(b) = c \Leftrightarrow a^c = b$, quindi

$x = \log_3(6)$