[Risolto] determina l'equazione dell'ellisse come luogo geometrico dei punti del piano di cui e data la somma de distanze dai punti A e B

Vado in ordine inverso rispetto a come hai scritto tu:
* "capire come funziona";
* "come procedere per risolvere";
* "determina l'equazione dell'ellisse come luogo";
perché se prima ti mostro come funziona poi risparmio un bel po' sul secondo punto che è piuttosto complesso da raccontare e infine sfrutto il caso particolare per scrivere poco e nulla sul determinare l'equazione.
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DEFINIZIONE
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Nel piano del riferimento Oxy l'ellisse è il luogo dei punti P(x, y) tali che le loro distanze da due punti fissi A(m, p) e B(n, q), distanti "2*c", detti fuochi
* |PA| = √((x - m)^2 + (y - p)^2)
* |PB| = √((x - n)^2 + (y - q)^2)
diano una somma "2*a" costante e prefissata
* √((x - m)^2 + (y - p)^2) + √((x - n)^2 + (y - q)^2) = 2*a
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Elaborando questa definizione si ottiene, dopo un bel po' di calcoli, l'equazione dell'ellisse in forma normale canonica
* A*x^2 + B*x*y + C*y^2 + D*x + E*y + F = 0
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COME FUNZIONA
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Su un foglio bianco, senza riferimenti, disegna, distanti "2*c", i punti A e B e il loro punto medio O.
Sulla base AB costruisci il triangolo isoscele ABC coi lati obliqui AC e BC di lunghezza "a" e l'altezza CO di lunghezza "b = √(a^2 - c^2)": il punto C fa parte dell'ellisse perché costruito in modo da rispettarne la condizione definitoria. Così pure il punto C' simmetrico di C rispetto alla base.
Sulla retta AB individuare, dalla parte di B, il punto D a distanza "a" dal punto medio O e, dalla parte di A, il punto D' simmetrico di D rispetto a CC'. Quindi anche D e D' sono punti dell'ellisse per costruzione.
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Le entità di questo disegno hanno i seguenti nomi tradizionali.
* A, B : fuochi
* O : centro
* C, C' : vertici dell'asse minore
* D, D' : vertici dell'asse maggiore
* a : semiasse maggiore
* b : semiasse minore
* c : semidistanza focale
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Istituendo un riferimento con:
* origine nel centro O
* asse x sull'asse maggiore orientato da O verso B e D
* asse y sull'asse minore orientato da O verso C
in esso l'equazione dell'ellisse in forma normale canonica risulta
* (1/a^2)*x^2 + (1/b^2)*y^2 - 1 = 0
ma anche, nella più leggibile forma normale standard,
* (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
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COME PROCEDERE
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Nel caso generale descritto nella definizione si procede come segue.
1) Individuare una trasformazione di coordinate "T(x, y) → (X, Y)" che trasli l'origine nel punto medio fra i fuochi dati e ruoti gli assi in modo da portare l'asse x sulla retta focale.
2) Costruire l'equazione "(X/a)^2 + (Y/b)^2 = 1" come detto sopra.
3) Applicare all'equazione la trasformazione inversa della T.
ALTERNATIVAMENTE
4) Sobbarcarsi gli sviluppi detti nella definizione.
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DETERMINARE L'EQUAZIONE
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Osservando i dati
* A(0, 1)
* B(0, - 1)
* somma distanze = 12
si nota che
* la retta focale è l'asse y, quindi il semiasse maggiore è b = 12/2 = 6;
* il punto medio fra i fuochi dati, centro dell'ellisse, è l'origine;
* la semidistanza focale è c = 1;
* il semiasse minore risulta a = √(b^2 - c^2) = √35
e quindi che la richiesta equazione è
* (x/√35)^2 + (y/6)^2 = 1
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VERIFICA nel paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plane+curve+%28x%2F%E2%88%9A35%29%5E2%2B%28y%2F6%29%5E2%3D1