Determina l'equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta di equazione $y=x-3$ nel punto di intersezione con l'asse $y$. Tra le infinite circonferenze del fascio trova quella che passa per $P(4 ;-1)$.
Determina l'equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta di equazione $y=x-3$ nel punto di intersezione con l'asse $y$. Tra le infinite circonferenze del fascio trova quella che passa per $P(4 ;-1)$.
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Livello 0
La tangente del fascio
* t ≡ y = x - 3
interseca l'asse y nell'unico punto base di tangenza T(0, - 3) dove la perpendicolare a t
* p ≡ - (x + 3)
è l'asse centrale del fascio che quindi ha centri C(k, - (k + 3)) e raggi r = |CT| = k*√2.
Ne risulta l'equazione del fascio
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y + (k + 3))^2 = (k*√2)^2 = 2*k^2 ≡
≡ x^2 + y^2 - 2*k*x + 2*(k + 3)*y + 3*(2*k + 3) = 0
da cui quella per P(4, - 1) che, per soddisfare al vincolo d'appartenenza
* (4 - k)^2 + (- 1 + (k + 3))^2 = 2*k^2 ≡ k = 5
dev'essere
* Γ(5) ≡ (x - 5)^2 + (y + 8)^2 = 50
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Genius I
Per avere una circonferenza devi conoscere i 3 parametri a,b,c.
Qui ti sta dando inizialmente solo due condizioni:
• tangente alla retta y=x-3
• passante per l'intersezione tra retta e asse y
Con due sole condizioni puoi trovare due dei parametri citati prima in funzione del terzo, e quindi hai infinite circonferenze, cioè un fascio di circonferenze.
(Tutte queste circonferenze rispetteranno le due condizioni imposte prima)
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Livello 2